Solving Poisson Equations using Neural Walk-on-Spheres

要約

我々は、高次元ポアソン方程式を効率的に解くための新しいニューラル PDE ソルバーである Neural Walk-on-Spheres (NWoS) を提案します。
確率的表現と Walk-on-Spheres 法を活用して、ドメイン内の球上のポアソン方程式の再帰的解に基づいたニューラル ネットワークの新しい損失を開発します。
結果として得られるメソッドは高度に並列化可能であり、損失に対する空間勾配を必要としません。
PINN、Deep Ritz 法、および (後方) 確率微分方程式に基づく競合する手法との包括的な比較を提供します。
いくつかの挑戦的で高次元の数値例で、精度、速度、計算コストにおける NWoS の優位性を実証します。
一般的に使用されている PINN と比較して、私たちのアプローチはメモリ使用量とエラーを桁違いに削減できます。
さらに、NWoS を PDE 制約付き最適化および分子動力学の問題に適用し、実際のアプリケーションにおけるその効率性を示します。

要約(オリジナル)

We propose Neural Walk-on-Spheres (NWoS), a novel neural PDE solver for the efficient solution of high-dimensional Poisson equations. Leveraging stochastic representations and Walk-on-Spheres methods, we develop novel losses for neural networks based on the recursive solution of Poisson equations on spheres inside the domain. The resulting method is highly parallelizable and does not require spatial gradients for the loss. We provide a comprehensive comparison against competing methods based on PINNs, the Deep Ritz method, and (backward) stochastic differential equations. In several challenging, high-dimensional numerical examples, we demonstrate the superiority of NWoS in accuracy, speed, and computational costs. Compared to commonly used PINNs, our approach can reduce memory usage and errors by orders of magnitude. Furthermore, we apply NWoS to problems in PDE-constrained optimization and molecular dynamics to show its efficiency in practical applications.

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