Matrices with Gaussian noise: optimal estimates for singular subspace perturbation

要約

Davis-Kahan-Wedin $\sin \Theta$ 定理は、小さな摂動を受けたときに行列の特異部分空間がどのように変化するかを説明します。
この典型的な結果は、最悪のシナリオでも顕著です。
この論文では、摂動がガウスランダム行列である場合の Davis-Kahan-Wedin $\sin \Theta$ 定理の確率論的バージョンを証明します。
特定の構造仮定の下で、古典的な Davis-Kahan-Wedin $\sin \Theta$ 定理を大幅に改善する最適限界が得られます。
私たちの重要なツールの 1 つは、独立して興味深い可能性がある特異値に束縛された新しい摂動です。

要約(オリジナル)

The Davis-Kahan-Wedin $\sin \Theta$ theorem describes how the singular subspaces of a matrix change when subjected to a small perturbation. This classic result is sharp in the worst case scenario. In this paper, we prove a stochastic version of the Davis-Kahan-Wedin $\sin \Theta$ theorem when the perturbation is a Gaussian random matrix. Under certain structural assumptions, we obtain an optimal bound that significantly improves upon the classic Davis-Kahan-Wedin $\sin \Theta$ theorem. One of our key tools is a new perturbation bound for the singular values, which may be of independent interest.

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