A Unified Framework for Uniform Signal Recovery in Nonlinear Generative Compressed Sensing

要約

生成圧縮センシング (GCS) では、生成事前 $ を使用して $m$ 測定値 ($m\ll n$)​​ から信号 $\mathbf{x}^* \in \mathbb{R}^n$ を復元したいと考えています。
\mathbf{x}^*\in G(\mathbb{B}_2^k(r))$、ここで $G$ は通常、$L$-リプシッツ連続生成モデルと $\mathbb{B}_2^k
(r)$ は $\mathbb{R}^k$ の半径 $r$ $\ell_2$-ball を表します。
非線形測定では、以前の結果のほとんどは不均一です。つまり、すべての $\mathbf{x}^*$ に対して同時にではなく、固定 $\mathbf{x}^*$ に対して高い確率で保持されます。
この論文では、観測モデルが非線形であり、不連続または未知である可能性がある非線形 GCS に対する均一な回復保証を導き出すための統一フレームワークを構築します。
私たちのフレームワークは、標準的な例として 1 ビット/均一に量子化された観測値と単一インデックス モデルを備えた GCS に対応しています。
具体的には、センシングアンサンブルと一般化されたなげなわの単一の実現を使用して、{\em all} $\mathbf{x}^*\in G(\mathbb{B}_2^k(r))$ を最大で回復できます。
$\ell_2$-error は、およそ $\tilde{O}({k}/{\epsilon^2})$ サンプルを使用して最大 $\epsilon$ になります。省略された対数因数は通常、$\log L$ によって支配されます。
特に、これは対数係数までの既存の不均一保証とほぼ一致しているため、均一性のコストはほとんどかかりません。
技術的貢献の一環として、不連続な観測モデルを処理するためのリプシッツ近似を導入しました。
また、インデックス セットの計量エントロピーが低い製品プロセスに対してより厳しい境界を生成する濃度不等式も開発します。
私たちの理論を裏付けるために実験結果が提示されています。

要約(オリジナル)

In generative compressed sensing (GCS), we want to recover a signal $\mathbf{x}^* \in \mathbb{R}^n$ from $m$ measurements ($m\ll n$) using a generative prior $\mathbf{x}^*\in G(\mathbb{B}_2^k(r))$, where $G$ is typically an $L$-Lipschitz continuous generative model and $\mathbb{B}_2^k(r)$ represents the radius-$r$ $\ell_2$-ball in $\mathbb{R}^k$. Under nonlinear measurements, most prior results are non-uniform, i.e., they hold with high probability for a fixed $\mathbf{x}^*$ rather than for all $\mathbf{x}^*$ simultaneously. In this paper, we build a unified framework to derive uniform recovery guarantees for nonlinear GCS where the observation model is nonlinear and possibly discontinuous or unknown. Our framework accommodates GCS with 1-bit/uniformly quantized observations and single index models as canonical examples. Specifically, using a single realization of the sensing ensemble and generalized Lasso, {\em all} $\mathbf{x}^*\in G(\mathbb{B}_2^k(r))$ can be recovered up to an $\ell_2$-error at most $\epsilon$ using roughly $\tilde{O}({k}/{\epsilon^2})$ samples, with omitted logarithmic factors typically being dominated by $\log L$. Notably, this almost coincides with existing non-uniform guarantees up to logarithmic factors, hence the uniformity costs very little. As part of our technical contributions, we introduce the Lipschitz approximation to handle discontinuous observation models. We also develop a concentration inequality that produces tighter bounds for product processes whose index sets have low metric entropy. Experimental results are presented to corroborate our theory.

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