Physics-Informed Gaussian Process Regression Generalizes Linear PDE Solvers

要約

タイトル：物理知識に基づいたガウス過程回帰は線形偏微分方程式の解法を一般化する

要約：
– 線形偏微分方程式は熱伝導、電磁気学、波伝播などの物理現象を表現する重要なモデルである。
– このようなPDEを解くために、離散化に基づく特殊な数値解法が使われるが、不明なパラメータの推定値や物理的測定値を初期化に用いることが一般的である。
– しかし、一般的なPDE解法の多くは推定誤差を考慮できないため、厳密な近似誤差の推定が得られない場合がある。
– 本研究では、物理知識に基づいたガウス過程回帰を用いて、線形PDEの解法問題にアプローチする。
– この枠組みは、有界線型演算子を介した観測値に対するガウス過程推論定理のキーとなる一般化に基づくもので、以下の3点を可能にする。
1. 離散化誤差の厳密な評価
2. パラメータの不確実性を解に伝播させることができる
3. ノイズのある測定値を条件付けることができる
– この枠組みは、重み付き残差法を含むPDE解法の中心的なクラス、有限体積法、疑似スペクトル法、有限要素法、スペクトル法などを厳密に一般化することができる。
– 結果として、数値解析とベイズ推論の間の境界を曖昧にし、機械的モデルを確率モデルのモジュール構成要素としてシームレスに統合することができる。

要約(オリジナル)

Linear partial differential equations (PDEs) are an important, widely applied class of mechanistic models, describing physical processes such as heat transfer, electromagnetism, and wave propagation. In practice, specialized numerical methods based on discretization are used to solve PDEs. They generally use an estimate of the unknown model parameters and, if available, physical measurements for initialization. Such solvers are often embedded into larger scientific models with a downstream application and thus error quantification plays a key role. However, by ignoring parameter and measurement uncertainty, classical PDE solvers may fail to produce consistent estimates of their inherent approximation error. In this work, we approach this problem in a principled fashion by interpreting solving linear PDEs as physics-informed Gaussian process (GP) regression. Our framework is based on a key generalization of the Gaussian process inference theorem to observations made via an arbitrary bounded linear operator. Crucially, this probabilistic viewpoint allows to (1) quantify the inherent discretization error; (2) propagate uncertainty about the model parameters to the solution; and (3) condition on noisy measurements. Demonstrating the strength of this formulation, we prove that it strictly generalizes methods of weighted residuals, a central class of PDE solvers including collocation, finite volume, pseudospectral, and (generalized) Galerkin methods such as finite element and spectral methods. This class can thus be directly equipped with a structured error estimate. In summary, our results enable the seamless integration of mechanistic models as modular building blocks into probabilistic models by blurring the boundaries between numerical analysis and Bayesian inference.

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