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要約

任意の計量空間の点と、敵から送られてくる点の更新のシーケンスが与えられたとき、$k$クラスタリング問題の定因数近似を維持するための、更新ごとの最小再コース（すなわち、更新後に中心集合に必要な最小の変更数）は何であろうか？この問題は近年、一貫したクラスタリングという名で注目されている。 Lattanzi and Vassilvitskii [ICLM ’17]やFichtenberger, Lattanzi, Norouzi-Fard, and Svensson [SODA ’21]による先行研究では、$k$-center目標や$k$-median目標を含む$k$-クラスタリング目標を、点挿入のみの条件下で研究している。本論文では、更新が点挿入か点削除のいずれかである完全動的設定における$k$-中心目標を研究する。本論文の前に、{L}k{a}cki, Haeupler, Grunau, Rozhov{n}, and Jayaram [SODA ’24]が、$k$-中心目的に対する決定論的な完全動的定因数近似アルゴ リズムを、更新ごとに最悪$2$のリコースで与えた。 本論文では、$k$中心クラスタリング問題に対して、更新毎に$1$の最悪遡及を持つ決定論的完全動的定因数近似アルゴリズムを開発することで、最適遡及境界を持つことを証明する。さらに、本アルゴリズムは軽いデータ構造に基づいて単純な選択を行うため、洗練された組合せ構造を用いた従来のアルゴリズムよりも、より直接的で高速である。さらに、新しい決定論的減少アルゴリズムと新しい決定論的増加アルゴリズムを開発し、両アルゴリズムとも、更新毎に$1$のワーストケース遡及で$6$近似の$k$中心解を維持する。我々のインクリメンタルアルゴリズムは、Charikar, Chekuri, Feder, and Motwani [STOC ’97]による$8$近似アルゴリズムを改善する。最後に、我々のアルゴリズムは3つとも決定論的であるため、適応的な敵対者に対しても有効である。

要約(オリジナル)

Given points from an arbitrary metric space and a sequence of point updates sent by an adversary, what is the minimum recourse per update (i.e., the minimum number of changes needed to the set of centers after an update), in order to maintain a constant-factor approximation to a $k$-clustering problem? This question has received attention in recent years under the name consistent clustering. Previous works by Lattanzi and Vassilvitskii [ICLM ’17] and Fichtenberger, Lattanzi, Norouzi-Fard, and Svensson [SODA ’21] studied $k$-clustering objectives, including the $k$-center and the $k$-median objectives, under only point insertions. In this paper we study the $k$-center objective in the fully dynamic setting, where the update is either a point insertion or a point deletion. Before our work, {\L}\k{a}cki, Haeupler, Grunau, Rozho\v{n}, and Jayaram [SODA ’24] gave a deterministic fully dynamic constant-factor approximation algorithm for the $k$-center objective with worst-case recourse of $2$ per update. In this work, we prove that the $k$-center clustering problem admits optimal recourse bounds by developing a deterministic fully dynamic constant-factor approximation algorithm with worst-case recourse of $1$ per update. Moreover our algorithm performs simple choices based on light data structures, and thus is arguably more direct and faster than the previous one which uses a sophisticated combinatorial structure. Additionally, we develop a new deterministic decremental algorithm and a new deterministic incremental algorithm, both of which maintain a $6$-approximate $k$-center solution with worst-case recourse of $1$ per update. Our incremental algorithm improves over the $8$-approximation algorithm by Charikar, Chekuri, Feder, and Motwani [STOC ’97]. Finally, we remark that since all three of our algorithms are deterministic, they work against an adaptive adversary.

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