A Legendre-Gauss Pseudospectral Collocation Method for Trajectory Optimization in Second Order Systems

要約

疑似スペクトル選点法は、最適制御問題を解決するための強力なツールであることが証明されています。
これらの方法は通常、ダイナミクスが $\dot{x} = f (x, u, t)$ の 1 次形式で与えられることを前提としていますが、ここで x は状態、u は制御ベクトルです。
$\ddot{q} = g(q, \dot{q}, u, t)$ の形式の ODE を並べ替えます。ここで、q は構成です。
2 次 ODE を 1 次 ODE に変換するための通常のアプローチは、速度変数 v を導入し、q の時間導関数との一致を課すことです。
Lobatto メソッドは、v の軌道を記述する多項式が q の時間導関数であるため、構造によってこの制約を与えますが、Gauss メソッドと Radau メソッドについては同じことが言えません。
このようなメソッドでは、選点で $\ddot{q} = g(q, \dot{q}, u, t)$ であることを保証できないため、これは問題です。
マイナス面として、ロバット法は初期値問題の解決に使用できません。選点での u の値が与えられると、状態の過度に制約された連立方程式が生成されるためです。
この論文では、通常の Lobatto、Gauss、および Radau 法の利点を保持しながら、それらの欠点を回避する Legendre-Gauss 選点法を提案します。
私たちが提案する選点スキームは、初期値の問題を解決するために適用でき、v と q の多項式間の一貫性を維持し、$\ddot{q} = g(q, \dot{q}, u, t)$ を保証します。
コロケーションポイント。

要約(オリジナル)

Pseudospectral collocation methods have proven to be powerful tools to solve optimal control problems. While these methods generally assume the dynamics is given in the first order form $\dot{x} = f (x, u, t)$, where x is the state and u is the control vector, robotic systems are typically governed by second order ODEs of the form $\ddot{q} = g(q, \dot{q}, u, t)$, where q is the configuration. To convert the second order ODE into a first order one, the usual approach is to introduce a velocity variable v and impose its coincidence with the time derivative of q. Lobatto methods grant this constraint by construction, as their polynomials describing the trajectory for v are the time derivatives of those for q, but the same cannot be said for the Gauss and Radau methods. This is problematic for such methods, as then they cannot guarantee that $\ddot{q} = g(q, \dot{q}, u, t)$ at the collocation points. On their negative side, Lobatto methods cannot be used to solve initial value problems, as given the values of u at the collocation points they generate an overconstrained system of equations for the states. In this paper, we propose a Legendre-Gauss collocation method that retains the advantages of the usual Lobatto, Gauss, and Radau methods, while avoiding their shortcomings. The collocation scheme we propose is applicable to solve initial value problems, preserves the consistency between the polynomials for v and q, and ensures that $\ddot{q} = g(q, \dot{q}, u, t)$ at the collocation points.

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