Gaussian entropic optimal transport: Schrödinger bridges and the Sinkhorn algorithm

要約

エントロピー最適輸送の問題は、最適な輸送問題の正則化バージョンです。
これらのモデルは、機械学習と生成モデリングにおいてますます重要な役割を果たします。
有限のスペースの場合、これらの問題は一般にSinkhornアルゴリズムを使用して解決されます（別名反復比例フィッティング手順）。
ただし、より一般的な設定では、シンクホーンの反復は非線形条件/コンジュゲート変換に基づいており、正確な有限次元ソリューションは計算できません。
この記事では、一般的なガウス多変量モデルの反復比例フィッティング手順の有限次元再帰定式化を紹介します。
予想どおり、この再帰定式化は、有名なカルマンフィルターおよび関連するRiccatiマトリックスの差異方程式に密接に関連しており、それ以上の近似なしで実際の設定で実装できるアルゴリズムを生成します。
このフィルタリング方法論を拡張して、エントロピー輸送マップとschr \ ‘odingerブリッジの閉じた形式の表現を含む、ガウス陥没穴アルゴリズムの洗練された自己完結型収束分析を開発します。

要約(オリジナル)

Entropic optimal transport problems are regularized versions of optimal transport problems. These models play an increasingly important role in machine learning and generative modelling. For finite spaces, these problems are commonly solved using Sinkhorn algorithm (a.k.a. iterative proportional fitting procedure). However, in more general settings the Sinkhorn iterations are based on nonlinear conditional/conjugate transformations and exact finite-dimensional solutions cannot be computed. This article presents a finite-dimensional recursive formulation of the iterative proportional fitting procedure for general Gaussian multivariate models. As expected, this recursive formulation is closely related to the celebrated Kalman filter and related Riccati matrix difference equations, and it yields algorithms that can be implemented in practical settings without further approximations. We extend this filtering methodology to develop a refined and self-contained convergence analysis of Gaussian Sinkhorn algorithms, including closed form expressions of entropic transport maps and Schr\’odinger bridges.

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