A polynomial formula for the perspective four points problem

要約

n=4 の場合に対する新しいアプローチにより、透視 n 点問題に対する高速かつ正確な解決策を提示します。
私たちのソリューションは変数の新しい分離にかかっています。カメラ キャンバス上に 4 つの 3D ポイントと対応する 4 つの 2D ポイントが与えられた場合、カメラを 2D キャンバス ポイントに接続する光線上にある別の 3D ポイントのセットを見つけることから始めます。
これらの 3D ポイント間の 6 つのペアごとの距離は、元の 3D ポイント間の 6 つの距離に可能な限り近いものになります。
このステップでは、遠近法の問題を絶対方向の問題 (明示的な公式による解決策があります) に還元します。
最初の問題を解決するために、できる限り方向性のない座標を設定します。3D 点側では、座標は点間の二乗距離です。
2D キャンバスの点側では、座標は光軸上に位置するように点の 1 つを回転した後の点の内積です。
次に、コンピューター代数システムを利用して解を導き出します。

要約(オリジナル)

We present a fast and accurate solution to the perspective n-points problem, by way of a new approach to the n=4 case. Our solution hinges on a novel separation of variables: given four 3D points and four corresponding 2D points on the camera canvas, we start by finding another set of 3D points, sitting on the rays connecting the camera to the 2D canvas points, so that the six pair-wise distances between these 3D points are as close as possible to the six distances between the original 3D points. This step reduces the perspective problem to an absolute orientation problem (which has a solution via explicit formula). To solve the first problem we set coordinates which are as orientation-free as possible: on the 3D points side our coordinates are the squared distances between the points. On the 2D canvas-points side our coordinates are the dot products of the points after rotating one of them to sit on the optical axis. We then derive the solution with the help of a computer algebra system.

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