Towards Spectral Convergence of Locally Linear Embedding on Manifolds with Boundary

要約

私たちは、大規模なデータセットが区間またはディスクからサンプリングされるときに、局所線形埋め込みとして知られる教師なし学習アルゴリズムの漸近動作を制御する微分演算子の固有値と固有関数を研究します。
特に、微分演算子は 2 次の混合型であり、境界付近で縮退します。
固有関数の自然な規則性条件が一貫した境界条件を課し、フロベニウス法を使用して点ごとの動作を推定することを示します。
次に、固有値の極限シーケンスを解析的に決定し、数値予測と比較します。
最後に、他のコンパクト多様体の固有値を決定するための変分フレームワークを提案します。

要約(オリジナル)

We study the eigenvalues and eigenfunctions of a differential operator that governs the asymptotic behavior of the unsupervised learning algorithm known as Locally Linear Embedding when a large data set is sampled from an interval or disc. In particular, the differential operator is of second order, mixed-type, and degenerates near the boundary. We show that a natural regularity condition on the eigenfunctions imposes a consistent boundary condition and use the Frobenius method to estimate pointwise behavior. We then determine the limiting sequence of eigenvalues analytically and compare them to numerical predictions. Finally, we propose a variational framework for determining eigenvalues on other compact manifolds.

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