Mathematical Definition and Systematization of Puzzle Rules

要約

論理パズルは問題解決と批判的思考を通じて人々を魅了してきましたが、新しいパズルのルールの作成はその場限りのプロセスに大きく依存していました。
スリザーリンクや数独などの鉛筆パズルは、これらのゲームの主要なサブセットを表しており、組み合わせ論理と空間推論に根ざした知的挑戦で有名です。
解決手法と問題生成の自動化に関する広範な研究にもかかわらず、体系的かつスケーラブルなルール設計のための統一フレームワークが不足しています。
ここでは、ペンシルパズルのルールを定義し体系化するための数学的枠組みを紹介します。
このフレームワークは、グリッド要素、その位置関係、および反復構成操作を形式化し、パズル ルールの基礎を形成する構造の段階的な構築を可能にします。
さらに、各構造の制約とドメインを記述する形式的な方法を確立し、可解性と一貫性を確保します。
このフレームワークを適用することで、スリザーリンクや数独などの有名なニコリ パズルのルールを形式化することに成功し、既存のパズルの重要な部分 (約 4 分の 1) が形式的に表現されていることを実証しました。
これらの結果は、パズル ルール設計を体系化して革新するフレームワークの可能性を検証し、自動ルール生成への道を確立します。
このフレームワークは、パズル ルール作成のための数学的基盤を提供することで、AI によって強化される可能性のあるコンピューターに、プレイヤーの好みに合わせた新しいパズル ルールを設計する道を開き、パズルの多様性の範囲を拡大します。
この作品は、ペンシル パズルへの直接的な応用を超えて、数学的フレームワークがどのようにレクリエーション数学とアルゴリズム デザインの橋渡しをできるかを示しており、教育用ゲーム デザイン、個人化された学習、および計算による創造性への潜在的な応用を伴う、ロジック ベースのシステムのより広範な探索のためのツールを提供します。

要約(オリジナル)

While logic puzzles have engaged individuals through problem-solving and critical thinking, the creation of new puzzle rules has largely relied on ad-hoc processes. Pencil puzzles, such as Slitherlink and Sudoku, represent a prominent subset of these games, celebrated for their intellectual challenges rooted in combinatorial logic and spatial reasoning. Despite extensive research into solving techniques and automated problem generation, a unified framework for systematic and scalable rule design has been lacking. Here, we introduce a mathematical framework for defining and systematizing pencil puzzle rules. This framework formalizes grid elements, their positional relationships, and iterative composition operations, allowing for the incremental construction of structures that form the basis of puzzle rules. Furthermore, we establish a formal method to describe constraints and domains for each structure, ensuring solvability and coherence. Applying this framework, we successfully formalized the rules of well-known Nikoli puzzles, including Slitherlink and Sudoku, demonstrating the formal representation of a significant portion (approximately one-fourth) of existing puzzles. These results validate the potential of the framework to systematize and innovate puzzle rule design, establishing a pathway to automated rule generation. By providing a mathematical foundation for puzzle rule creation, this framework opens avenues for computers, potentially enhanced by AI, to design novel puzzle rules tailored to player preferences, expanding the scope of puzzle diversity. Beyond its direct application to pencil puzzles, this work illustrates how mathematical frameworks can bridge recreational mathematics and algorithmic design, offering tools for broader exploration in logic-based systems, with potential applications in educational game design, personalized learning, and computational creativity.

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