Quantum Channel Learning

要約

一連の密度行列写像測定値$rho^{(l)} \to \varrho^{(l)}$, $l=1dots M$に基づくヒルベルト空間$IN$と$OUT$間の最適写像の問題は、全忠実度$mathcal{F}=sum_{l=1}^{M}を最大化する最適化問題として定式化される。\を最大化する最適化問題として定式化される。全忠実度が超演算子 $mathcal{F}=sum_spha_spha_left_langle B_smiddle|Smiddle| B_spha_spha_right_rangle$ の2次形式として表現できる形式の$F(˶varrho,˶sigma)$に対して、（厳密でも近似でも）反復アルゴリズムを開発した。本論文では、$IN$/$OUT$状態を密度行列として表現する。2.マッピング自体は混合ユニタリー量子チャネルとして定式化される。\mathcal{U}_s^{dagger}$として定式化される（一般的な量子チャンネルはまだない）。これは、一般的に研究されている純粋状態のユニタリー写像$phi_l=mathcal{U}から\psi_l$を量子チャンネルに変換することで、確率的な混合状態とそれらの重ね合わせを区別できるようになります。本アプローチの応用として、密度行列写像のユニタリー学習$varrho^{(l)}=U}を示す。\この場合、$sqrt{rho^{(l)}}を考えることにより、$mathcal{U}$忠実度に関する2次関数が成り立つ。\この場合、$sqrt{sequrho^{(l)}}から$sqrt{sequrho^{(l)}}への写像を考えることで、$mathcal{U}$ fidelity上の2次関数を構成することができる。量子チャンネル上では、$B_s$ fidelity上の2次関数は近似であり、量子チャンネルはユニタリー写像の階層として得られる。このアプローチは、量子逆問題、変分量子アルゴリズム、量子トモグラフィなどの研究に応用できる。

要約(オリジナル)

The problem of an optimal mapping between Hilbert spaces $IN$ and $OUT$, based on a series of density matrix mapping measurements $\rho^{(l)} \to \varrho^{(l)}$, $l=1\dots M$, is formulated as an optimization problem maximizing the total fidelity $\mathcal{F}=\sum_{l=1}^{M} \omega^{(l)} F\left(\varrho^{(l)},\sum_s B_s \rho^{(l)} B^{\dagger}_s\right)$ subject to probability preservation constraints on Kraus operators $B_s$. For $F(\varrho,\sigma)$ in the form that total fidelity can be represented as a quadratic form with superoperator $\mathcal{F}=\sum_s\left\langle B_s\middle|S\middle| B_s \right\rangle$ (either exactly or as an approximation) an iterative algorithm is developed. The work introduces two important generalizations of unitary learning: 1. $IN$/$OUT$ states are represented as density matrices. 2. The mapping itself is formulated as a mixed unitary quantum channel $A^{OUT}=\sum_s |w_s|^2 \mathcal{U}_s A^{IN} \mathcal{U}_s^{\dagger}$ (no general quantum channel yet). This marks a crucial advancement from the commonly studied unitary mapping of pure states $\phi_l=\mathcal{U} \psi_l$ to a quantum channel, what allows us to distinguish probabilistic mixture of states and their superposition. An application of the approach is demonstrated on unitary learning of density matrix mapping $\varrho^{(l)}=\mathcal{U} \rho^{(l)} \mathcal{U}^{\dagger}$, in this case a quadratic on $\mathcal{U}$ fidelity can be constructed by considering $\sqrt{\rho^{(l)}} \to \sqrt{\varrho^{(l)}}$ mapping, and on a quantum channel, where quadratic on $B_s$ fidelity is an approximation — a quantum channel is then obtained as a hierarchy of unitary mappings, a mixed unitary channel. The approach can be applied to studying quantum inverse problems, variational quantum algorithms, quantum tomography, and more.

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