Gaussian entropic optimal transport: Schrödinger bridges and the Sinkhorn algorithm

要約

エントロピー最適輸送問題は、最適輸送問題の正規化バージョンです。
これらのモデルは、機械学習と生成モデリングにおいてますます重要な役割を果たしています。
有限空間の場合、これらの問題は通常、シンクホーン アルゴリズム (反復比例フィッティング手順とも呼ばれます) を使用して解決されます。
ただし、より一般的な設定では、シンクホーン反復は非線形の条件付き/共役変換に基づいており、正確な有限次元の解を計算することはできません。
この記事では、一般的なガウス多変量モデルに対する反復比例フィッティング手順の有限次元再帰定式化を示します。
予想通り、この再帰的定式化は有名なカルマン フィルターおよび関連するリカッティ行列差分方程式と密接に関連しており、さらなる近似を行わずに実際の設定で実装できるアルゴリズムを生成します。
このフィルタリング手法を拡張して、エントロピー輸送マップやシュオーディンガー ブリッジの閉形式表現を含む、ガウス シンクホーン アルゴリズムの洗練された自己完結型収束解析を開発します。

要約(オリジナル)

Entropic optimal transport problems are regularized versions of optimal transport problems. These models play an increasingly important role in machine learning and generative modelling. For finite spaces, these problems are commonly solved using Sinkhorn algorithm (a.k.a. iterative proportional fitting procedure). However, in more general settings the Sinkhorn iterations are based on nonlinear conditional/conjugate transformations and exact finite-dimensional solutions cannot be computed. This article presents a finite-dimensional recursive formulation of the iterative proportional fitting procedure for general Gaussian multivariate models. As expected, this recursive formulation is closely related to the celebrated Kalman filter and related Riccati matrix difference equations, and it yields algorithms that can be implemented in practical settings without further approximations. We extend this filtering methodology to develop a refined and self-contained convergence analysis of Gaussian Sinkhorn algorithms, including closed form expressions of entropic transport maps and Schr\’odinger bridges.

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