Data-driven decision-making under uncertainty with entropic risk measure

要約

エントロピー リスク尺度は、不確実な損失に伴うテール リスクを考慮するために、一か八かの意思決定で広く使用されています。
データが限られている場合、経験的なエントロピー リスク推定量、つまりエントロピー リスク尺度の期待値をサンプル平均に置き換えると、真のリスクが過小評価されます。
経験的なエントロピー リスク推定量のバイアスを軽減するために、強く漸近的に一貫したブートストラップ手順を提案します。
手順の最初のステップでは、分布をデータに当てはめることが含まれます。一方、2 番目のステップでは、ブートストラップを使用して経験的エントロピー リスク推定量のバイアスを推定し、それを補正します。
最尤基準を使用してガウス混合モデルを単純にデータに当てはめると、一般にリスクの過小評価につながることを示します。
この問題を軽減するために、2 つの代替方法を検討します。1 つは経験的なエントロピー リスクの分布に適合するより計算量の多い方法、もう 1 つは極値の分布に適合するより単純な方法です。
このアプローチの応用として、type-$\infty$ Wasserstein 曖昧性セットを使用した分布的にロバストなエントロピー リスク最小化問題を研究します。この問題では、私たちの手法を使用して検証パフォーマンスをバイアス解除することで、曖昧性セットのサイズの校正が大幅に改善されます。
さらに、よく研究された保険契約設計問題に対して、分布的にロバストな最適化モデルを提案します。
このモデルは、依存リスクを持つ複数の (潜在的な) 保険契約者を考慮し、保険会社と保険契約者はエントロピー リスク尺度を使用します。
検証パフォーマンスのバイアスが補正されない場合、相互検証手法により保険会社のサンプル外リスクが著しく高くなる可能性があることを示します。
この改善は、私たちの方法が住宅所有者に対してより高い（そしてより正確な）保険料を提案するという観察から説明できます。

要約(オリジナル)

The entropic risk measure is widely used in high-stakes decision making to account for tail risks associated with an uncertain loss. With limited data, the empirical entropic risk estimator, i.e. replacing the expectation in the entropic risk measure with a sample average, underestimates the true risk. To debias the empirical entropic risk estimator, we propose a strongly asymptotically consistent bootstrapping procedure. The first step of the procedure involves fitting a distribution to the data, whereas the second step estimates the bias of the empirical entropic risk estimator using bootstrapping, and corrects for it. We show that naively fitting a Gaussian Mixture Model to the data using the maximum likelihood criterion typically leads to an underestimation of the risk. To mitigate this issue, we consider two alternative methods: a more computationally demanding one that fits the distribution of empirical entropic risk, and a simpler one that fits the extreme value distribution. As an application of the approach, we study a distributionally robust entropic risk minimization problem with type-$\infty$ Wasserstein ambiguity set, where debiasing the validation performance using our techniques significantly improves the calibration of the size of the ambiguity set. Furthermore, we propose a distributionally robust optimization model for a well-studied insurance contract design problem. The model considers multiple (potential) policyholders that have dependent risks and the insurer and policyholders use entropic risk measure. We show that cross validation methods can result in significantly higher out-of-sample risk for the insurer if the bias in validation performance is not corrected for. This improvement can be explained from the observation that our methods suggest a higher (and more accurate) premium to homeowners.

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