Learning Low Degree Hypergraphs

要約

エッジ検出クエリを介してハイパーグラフを学習する問題を研究します。
この問題では、学習者は隠れたハイパーグラフの頂点のサブセットをクエリし、これらのサブセットにエッジが含まれるかどうかを観察します。
一般に、最大サイズ $d$ の $m$ エッジを持つハイパーグラフを学習するには、 $\Omega((2m/d)^{d/2})$ クエリが必要です。
この論文では、エッジのサイズが指数関数的に増大するクエリの複雑さに悩まされることなく学習できるハイパーグラフのファミリーを特定することを目的としています。
$n$ 頂点を持つハイパーマッチングと低次の準一様ハイパーグラフが、poly$(n)$ クエリで学習可能であることを示します。
ハイパーマッチング (最大次数 $ 1$ のハイパーグラフ) を学習するには、$O(n \log^5 n)$ クエリを使用した $O(\log^3 n)$ ラウンド アルゴリズムを与えます。
$o(\log \log n)$ 適応ラウンドでハイパーマッチングを学習するpoly$(n)$ クエリを備えたアルゴリズムが存在しないことを示すことで、この上限を補完します。
最大次数 $\Delta$ とエッジ サイズ比 $\rho$ を持つハイパーグラフの場合、$O((2n)^{\rho \Delta+1}\log^2 n)$ クエリによる非適応アルゴリズムを与えます。
私たちの知る限り、これらは、超一定サイズの超一定数のエッジを持つ自明ではないハイパーグラフ族を学習するための、poly$(n, m)$ クエリの複雑さを備えた最初のアルゴリズムです。

要約(オリジナル)

We study the problem of learning a hypergraph via edge detecting queries. In this problem, a learner queries subsets of vertices of a hidden hypergraph and observes whether these subsets contain an edge or not. In general, learning a hypergraph with $m$ edges of maximum size $d$ requires $\Omega((2m/d)^{d/2})$ queries. In this paper, we aim to identify families of hypergraphs that can be learned without suffering from a query complexity that grows exponentially in the size of the edges. We show that hypermatchings and low-degree near-uniform hypergraphs with $n$ vertices are learnable with poly$(n)$ queries. For learning hypermatchings (hypergraphs of maximum degree $ 1$), we give an $O(\log^3 n)$-round algorithm with $O(n \log^5 n)$ queries. We complement this upper bound by showing that there are no algorithms with poly$(n)$ queries that learn hypermatchings in $o(\log \log n)$ adaptive rounds. For hypergraphs with maximum degree $\Delta$ and edge size ratio $\rho$, we give a non-adaptive algorithm with $O((2n)^{\rho \Delta+1}\log^2 n)$ queries. To the best of our knowledge, these are the first algorithms with poly$(n, m)$ query complexity for learning non-trivial families of hypergraphs that have a super-constant number of edges of super-constant size.

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