Continuous Multidimensional Scaling

要約

多次元スケーリング (MDS) は、$d$ 次元のユークリッド空間に $n$ オブジェクトのセットに関する近接情報を埋め込む行為です。
もともと心理測定コミュニティによって考案されたように、MDS はオブジェクトの固定セットに関連付けられた近接性の固定セットを埋め込むことに関係していました。
たとえば、ランダム グラフでの統計的推論のための漸近理論を開発する際に生じる現代の懸念には、より一般的には、増加するオブジェクトのセットに関連する一連の近接性の制限的な動作の研究が含まれます。
ここでは、Kruskal (1964) の生のストレス基準を最小化することによって、相違点を埋め込むことに関心があります。
点対集合マップの理論からの標準的な結果を使用して、$n$ が固定され、一連の非類似度行列が収束する場合、それらの埋め込まれた構造の極限が、極限相違度行列の埋め込まれた構造であることを確立できます。
しかし、$n$ が増加したらどうなるでしょうか?
次に、一連の埋め込み問題全体を固定空間内の一連の最適化問題として見なせるように、MDS を再定式化することが必要になります。
私たちはそのような再定式化、{\em Continuous MDS} を提案します。
連続 MDS フレームワーク内で、2 つの $L^p$ 一貫性の結果を導き出します。1 つは構成に制約がない埋め込みに関するもので、もう 1 つは埋め込み関数の滑らかさを促進する {\em 近似リプシッツ制約}\/ に従う埋め込みに関するものです。
後者のアプローチ、{\em 近似リプシッツ埋め込み}\/ (ALE) は新しいアプローチです。
最後に、ALE によって生成された埋め込み構造が均一な収束をもたらす方法で補間できることを示します。

要約(オリジナル)

Multidimensional scaling (MDS) is the act of embedding proximity information about a set of $n$ objects in $d$-dimensional Euclidean space. As originally conceived by the psychometric community, MDS was concerned with embedding a fixed set of proximities associated with a fixed set of objects. Modern concerns, e.g., that arise in developing asymptotic theories for statistical inference on random graphs, more typically involve studying the limiting behavior of a sequence of proximities associated with an increasing set of objects. Here we are concerned with embedding dissimilarities by minimizing Kruskal’s (1964) raw stress criterion. Standard results from the theory of point-to-set maps can be used to establish that, if $n$ is fixed and a sequence of dissimilarity matrices converges, then the limit of their embedded structures is the embedded structure of the limiting dissimilarity matrix. But what if $n$ increases? It then becomes necessary to reformulate MDS so that the entire sequence of embedding problems can be viewed as a sequence of optimization problems in a fixed space. We present such a reformulation, {\em continuous MDS}. Within the continuous MDS framework, we derive two $L^p$ consistency results, one for embedding without constraints on the configuration, the other for embedding subject to {\em approximate Lipschitz constraints}\/ that encourage smoothness of the embedding function. The latter approach, {\em Approximate Lipschitz Embedding}\/ (ALE) is new. Finally, we demonstrate that embedded structures produced by ALE can be interpolated in a way that results in uniform convergence.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google