A data-driven learned discretization approach in finite volume schemes for hyperbolic conservation laws and varying boundary conditions

要約

この論文では、1D および 2D 双曲線偏微分方程式を解くためのデータ駆動型有限体積法を紹介します。
この研究は、スカラー保存則の滑らかな解のデータ駆動型差分近似を組み込んだ先行研究に基づいて構築されており、空間導関数を近似するニューラル ネットワークの最適な係数は、これらの方程式の正確ではあるが面倒な解に基づいて学習されます。
我々は、このアプローチを双曲線スカラーおよび保存則系の磁束制限有限体積スキームに拡張します。
また、境界条件の適用だけでなく、衝撃波や接触波による不連続な解を効率的に捕捉するための離散化もトレーニングします。
データ駆動型モデルの学習手順は、新しい損失、パディング、および適切なデータベースの定義を通じて拡張されます。
これらの新しい要素は、計算の安定性を保証し、細かいグリッドのソリューションの精度を維持し、全体的なパフォーマンスを向上させます。
1 次元空間と 2 次元空間の両方で文献のテスト ケースを使用した数値実験により、学習されたモデルが非常に粗いメッシュ上で細かいグリッドの結果を正確に再現することが実証されました。

要約(オリジナル)

This paper presents a data-driven finite volume method for solving 1D and 2D hyperbolic partial differential equations. This work builds upon the prior research incorporating a data-driven finite-difference approximation of smooth solutions of scalar conservation laws, where optimal coefficients of neural networks approximating space derivatives are learned based on accurate, but cumbersome solutions to these equations. We extend this approach to flux-limited finite volume schemes for hyperbolic scalar and systems of conservation laws. We also train the discretization to efficiently capture discontinuous solutions with shock and contact waves, as well as to the application of boundary conditions. The learning procedure of the data-driven model is extended through the definition of a new loss, paddings and adequate database. These new ingredients guarantee computational stability, preserve the accuracy of fine-grid solutions, and enhance overall performance. Numerical experiments using test cases from the literature in both one- and two-dimensional spaces demonstrate that the learned model accurately reproduces fine-grid results on very coarse meshes.

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