Physics-informed reduced order model with conditional neural fields

要約

この研究では、パラメータ化された偏微分方程式 (PDE) の解を近似するための、低次数モデリングのための条件付きニューラル フィールド (CNF-ROM) フレームワークを紹介します。
このアプローチでは、時間の経過に伴う潜在ダイナミクスをモデル化するパラメトリック ニューラル ODE (PNODE) と、対応する潜在状態から PDE 解を再構築するデコーダーを組み合わせます。
CNF-ROM の物理学に基づいた学習目標を紹介します。これには 2 つの主要なコンポーネントが含まれます。
まず、フレームワークは座標ベースのニューラル ネットワークを使用して、自動微分による空間導関数を計算し、時間導関数に連鎖規則を適用することで PDE 残差を計算および最小化します。
第 2 に、近似距離関数 (ADF) を使用して正確な初期条件と境界条件 (IC/BC) が課されます [Sukumar and Srivastava、CMAME、2022]。
ただし、ADF では 2 次または高次の導関数が境界の結合点で不安定になるため、トレードオフが生じます。
これに対処するために、[Gladstone et al.、NeurIPS ML4PS ワークショップ、2022] からインスピレーションを得た補助ネットワークを導入します。
私たちの方法は、パラメーターの外挿と内挿、時間外挿、および分析ソリューションとの比較を通じて検証されます。

要約(オリジナル)

This study presents the conditional neural fields for reduced-order modeling (CNF-ROM) framework to approximate solutions of parametrized partial differential equations (PDEs). The approach combines a parametric neural ODE (PNODE) for modeling latent dynamics over time with a decoder that reconstructs PDE solutions from the corresponding latent states. We introduce a physics-informed learning objective for CNF-ROM, which includes two key components. First, the framework uses coordinate-based neural networks to calculate and minimize PDE residuals by computing spatial derivatives via automatic differentiation and applying the chain rule for time derivatives. Second, exact initial and boundary conditions (IC/BC) are imposed using approximate distance functions (ADFs) [Sukumar and Srivastava, CMAME, 2022]. However, ADFs introduce a trade-off as their second- or higher-order derivatives become unstable at the joining points of boundaries. To address this, we introduce an auxiliary network inspired by [Gladstone et al., NeurIPS ML4PS workshop, 2022]. Our method is validated through parameter extrapolation and interpolation, temporal extrapolation, and comparisons with analytical solutions.

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