Stabilizing and Solving Inverse Problems using Data and Machine Learning

要約

未知の境界条件を持つ非線形偏微分方程式 (PDE) の解の再構築を伴う逆問題を考えます。
直接的な境界データの代わりに、典型的なソリューションの境界観察の大規模なデータセット (集合データ) と特定の実現のバルク測定が提供されます。
この集合データを活用するには、まず線形展開で適切な直交分解 (POD) を使用して境界データを圧縮します。
次に、オートエンコーダを使用して展開係数内の考えられる非線形低次元構造を特定します。これにより、低次元潜在空間内のデータセットのパラメータ化が可能になります。
次に、ニューラル ネットワークをトレーニングして、境界データを表す潜在変数を偏微分方程式の解にマッピングします。
最後に、潜在空間に対するデータフィッティング項を最適化することで逆問題を解決します。
基礎となる安定化有限要素法を線形設定で解析し、$H^1$ および $L^2$ ノルムでの最適な誤差推定を確立します。
次に、非線形問題が数値的に研究され、私たちのアプローチの有効性が実証されます。

要約(オリジナル)

We consider an inverse problem involving the reconstruction of the solution to a nonlinear partial differential equation (PDE) with unknown boundary conditions. Instead of direct boundary data, we are provided with a large dataset of boundary observations for typical solutions (collective data) and a bulk measurement of a specific realization. To leverage this collective data, we first compress the boundary data using proper orthogonal decomposition (POD) in a linear expansion. Next, we identify a possible nonlinear low-dimensional structure in the expansion coefficients using an auto-encoder, which provides a parametrization of the dataset in a lower-dimensional latent space. We then train a neural network to map the latent variables representing the boundary data to the solution of the PDE. Finally, we solve the inverse problem by optimizing a data-fitting term over the latent space. We analyze the underlying stabilized finite element method in the linear setting and establish optimal error estimates in the $H^1$ and $L^2$-norms. The nonlinear problem is then studied numerically, demonstrating the effectiveness of our approach.

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