On the Boundary Feasibility for PDE Control with Neural Operators

要約

物理世界のダイナミクスは一般に、科学および工学の問題における未知の解析形式を備えた基礎となる偏微分方程式 (PDE) によって支配されます。
近年、偏微分方程式問題のシミュレーションと解決において、ニューラル ネットワーク ベースのデータ駆動型アプローチが盛んに研究されていますが、未知の偏微分方程式のダイナミクスの理解から制御に進むことは依然として困難です。
PDE 境界制御は、制御の入力および出力として PDE 境界条件のみに焦点を当てることで、単純化されていますが重要な問題を具体化します。
ただし、現在のモデルフリー PDE コントローラーでは、境界出力がユーザー指定の安全制約を確実に満たすことができません。
この目的を達成するために、現在のモデルフリー コントローラーの境界出力が安全なセット内にとどまることを保証する安全フィルター フレームワークを提案します。
具体的には、まず、境界出力の軌道方向の制約を満たす実現可能性を確保するために、一般的な神経境界制御バリア関数 (BCBF) を導入します。
境界制御入力から出力軌道までの伝達関数をモデル化するニューラル オペレーターに基づいて、BCBF の変化が入力境界の変化に線形に依存するため、事前トレーニング済みモデルに対して二次計画法ベースの安全フィルター処理を実行できることを示します。
無料のコントローラー。
困難な双曲、放物線、およびナビエ・ストークス PDE ダイナミクス環境下での広範な実験により、モデルフリー コントローラーのベースラインと比較して、より優れた一般的なパフォーマンスと境界制約の満足度を達成する上で、提案された方法の有効性が検証されました。

要約(オリジナル)

The physical world dynamics are generally governed by underlying partial differential equations (PDEs) with unknown analytical forms in science and engineering problems. Neural network based data-driven approaches have been heavily studied in simulating and solving PDE problems in recent years, but it is still challenging to move forward from understanding to controlling the unknown PDE dynamics. PDE boundary control instantiates a simplified but important problem by only focusing on PDE boundary conditions as the control input and output. However, current model-free PDE controllers cannot ensure the boundary output satisfies some given user-specified safety constraint. To this end, we propose a safety filtering framework to guarantee the boundary output stays within the safe set for current model-free controllers. Specifically, we first introduce a general neural boundary control barrier function (BCBF) to ensure the feasibility of the trajectorywise constraint satisfaction of boundary output. Based on a neural operator modeling the transfer function from boundary control input to output trajectories, we show that the change in the BCBF depends linearly on the change in input boundary, so quadratic programming-based safety filtering can be done for pre-trained model-free controllers. Extensive experiments under challenging hyperbolic, parabolic and Navier-Stokes PDE dynamics environments validate the effectiveness of the proposed method in achieving better general performance and boundary constraint satisfaction compared to the model-free controller baselines.

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