Equivariant Symmetry Breaking Sets

要約

等変ニューラル ネットワーク (ENN) は、基礎となる対称性を伴うアプリケーションにおいて非常に効果的であることが示されています。
構造上、ENN は、より高い対称性の入力が与えられた場合に、より低い対称性の出力を生成することはできません。
ただし、対称性の破れは多くの物理系で発生し、初期の対称性の高い安定状態から対称性の低い安定状態が得られる可能性があります。
したがって、ENN の対称性を体系的に破る方法を理解することが不可欠です。
この研究では、完全に等変であり、自発的な対称性の破れに完全に対処する最初の新しい対称性破れのフレームワークを提案します。
私たちのアプローチは一般的であり、どのグループの下でも等分散に適用できることを強調します。
これを達成するために、対称破壊集合 (SBS) のアイデアを導入します。
既存のネットワークを再設計するのではなく、入力と出力の対称性に基づいてネットワークに供給する対称性を破壊するオブジェクトのセットを設計します。
これらのセットの等分散を定義する自然な方法があり、これにより追加の制約が与えられることを示します。
これらのセットのサイズを最小限に抑えることは、データ効率につながります。
これらの集合を最小化すると、よく研究された群理論の問題が生じることを証明し、点群に対するこの問題の解を表にまとめます。
最後に、対称性の破れの例をいくつか示し、私たちのアプローチが実際にどのように機能するかを示します。
これらの例のコードは、\url{https://github.com/atomicarchitects/equivariant-SBS} で入手できます。

要約(オリジナル)

Equivariant neural networks (ENNs) have been shown to be extremely effective in applications involving underlying symmetries. By construction ENNs cannot produce lower symmetry outputs given a higher symmetry input. However, symmetry breaking occurs in many physical systems and we may obtain a less symmetric stable state from an initial highly symmetric one. Hence, it is imperative that we understand how to systematically break symmetry in ENNs. In this work, we propose a novel symmetry breaking framework that is fully equivariant and is the first which fully addresses spontaneous symmetry breaking. We emphasize that our approach is general and applicable to equivariance under any group. To achieve this, we introduce the idea of symmetry breaking sets (SBS). Rather than redesign existing networks, we design sets of symmetry breaking objects which we feed into our network based on the symmetry of our inputs and outputs. We show there is a natural way to define equivariance on these sets, which gives an additional constraint. Minimizing the size of these sets equates to data efficiency. We prove that minimizing these sets translates to a well studied group theory problem, and tabulate solutions to this problem for the point groups. Finally, we provide some examples of symmetry breaking to demonstrate how our approach works in practice. The code for these examples is available at \url{https://github.com/atomicarchitects/equivariant-SBS}.

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