Lifted Inference beyond First-Order Logic

要約

Weighted First Order Model Counting (WFOMC) は、統計的リレーショナル学習モデルにおける確率的推論の基礎です。
WFOMC は一般に扱いにくい ($\#$P-complete) ことが知られているため、多項式時間 WFOMC を許容する論理フラグメントは非常に興味深いものです。
このようなフラグメントはドメインリフターブルと呼ばれます。
最近の研究では、計数量指定子 ($\mathrm{C^2}$) で拡張された 1 次論理の 2 変数フラグメントが領域リフト可能であることが示されました。
ただし、引用ネットワークの非循環性やソーシャル ネットワークの接続性など、現実世界のデータの多くの特性は、$\mathrm{C^2}$ や一般に 1 次ロジックではモデル化できません。
この研究では、そのような複数のプロパティを使用して $\mathrm{C^2}$ のドメインリフト可能性を拡張します。
$\mathrm{C^2}$ 文は、その関係の 1 つが有向非巡回グラフ、接続グラフ、ツリー (それぞれ有向ツリー)、またはフォレスト (それぞれ有向ツリー) を表すように制限されている場合でも領域リフティング可能であることを示します。
有向フォレスト)。
私たちの結果はすべて、「分割してカウントする」という斬新で一般的な方法論に基づいています。
確率的推論への応用に加えて、我々の結果は、組み合わせ構造をカウントするための一般的な枠組みを提供します。
私たちは、有向非巡回グラフ、系統発生ネットワークなどに関する離散数学文献におけるこれまでの膨大な結果を拡張します。

要約(オリジナル)

Weighted First Order Model Counting (WFOMC) is fundamental to probabilistic inference in statistical relational learning models. As WFOMC is known to be intractable in general ($\#$P-complete), logical fragments that admit polynomial time WFOMC are of significant interest. Such fragments are called domain liftable. Recent works have shown that the two-variable fragment of first order logic extended with counting quantifiers ($\mathrm{C^2}$) is domain-liftable. However, many properties of real-world data, like acyclicity in citation networks and connectivity in social networks, cannot be modeled in $\mathrm{C^2}$, or first order logic in general. In this work, we expand the domain liftability of $\mathrm{C^2}$ with multiple such properties. We show that any $\mathrm{C^2}$ sentence remains domain liftable when one of its relations is restricted to represent a directed acyclic graph, a connected graph, a tree (resp. a directed tree) or a forest (resp. a directed forest). All our results rely on a novel and general methodology of ‘counting by splitting’. Besides their application to probabilistic inference, our results provide a general framework for counting combinatorial structures. We expand a vast array of previous results in discrete mathematics literature on directed acyclic graphs, phylogenetic networks, etc.

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