Contraction Theory for Nonlinear Stability Analysis and Learning-based Control: A Tutorial Overview

要約

収縮理論は、一様な正定行列で定義された収縮計量のもとで非自律 (つまり、時間変化する) 非線形システムの微分ダイナミクスを研究するための分析ツールです。その存在により、増分指数関数の必要かつ十分な特性評価が得られます。
複数の解軌道の互いに対する安定性。
リアプノフのような関数として微分長の 2 乗を使用することにより、その非線形安定性解析は、要約すると、線形行列不等式として表現される安定条件を満たす適切な収縮メトリックを見つけることになります。これは、よく知られた線形システム間に多くの平行線を引くことができることを示しています。
非線形システムの理論と収縮理論。
さらに、縮小理論は、比較補題と組み合わせて使用​​される指数安定性という優れたロバスト性特性を利用します。
これにより、入力から状態への安定性のために均一漸近安定性を使用するというより複雑な方法に頼ることなく、ニューラル ネットワーク ベースの制御および推定スキームに切望されている安全性と安定性の保証が得られます。
このような特有の機能により、凸最適化による収縮メトリックの体系的な構築が可能になり、それにより、時間とともに変化するターゲット軌道と、外乱や学習誤差によって外部から摂動された解軌道との間の距離に関する明示的な指数関数的限界が得られます。
したがって、この論文の目的は、さまざまな学習ベースおよびデータ駆動型の自動制御手法に対する形式的なロバスト性と安定性の保証を導き出すことに重点を置きながら、収縮理論のチュートリアルの概要と、決定論的および確率的システムの非線形安定性解析におけるその利点を示すことです。
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特に、ディープ ニューラル ネットワークを使用して収縮メトリクスと関連する制御法則および推定法則を見つけるための手法の詳細なレビューを提供します。

要約(オリジナル)

Contraction theory is an analytical tool to study differential dynamics of a non-autonomous (i.e., time-varying) nonlinear system under a contraction metric defined with a uniformly positive definite matrix, the existence of which results in a necessary and sufficient characterization of incremental exponential stability of multiple solution trajectories with respect to each other. By using a squared differential length as a Lyapunov-like function, its nonlinear stability analysis boils down to finding a suitable contraction metric that satisfies a stability condition expressed as a linear matrix inequality, indicating that many parallels can be drawn between well-known linear systems theory and contraction theory for nonlinear systems. Furthermore, contraction theory takes advantage of a superior robustness property of exponential stability used in conjunction with the comparison lemma. This yields much-needed safety and stability guarantees for neural network-based control and estimation schemes, without resorting to a more involved method of using uniform asymptotic stability for input-to-state stability. Such distinctive features permit systematic construction of a contraction metric via convex optimization, thereby obtaining an explicit exponential bound on the distance between a time-varying target trajectory and solution trajectories perturbed externally due to disturbances and learning errors. The objective of this paper is therefore to present a tutorial overview of contraction theory and its advantages in nonlinear stability analysis of deterministic and stochastic systems, with an emphasis on deriving formal robustness and stability guarantees for various learning-based and data-driven automatic control methods. In particular, we provide a detailed review of techniques for finding contraction metrics and associated control and estimation laws using deep neural networks.

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