Stable Matching with Ties: Approximation Ratios and Learning

要約

私たちは、市場の一方の側が他方のメンバーよりも厳密な優先順位を必ずしも持っているわけではない、紐付きの市場をマッチングする問題を研究します。
たとえば、労働者は必ずしも仕事に対して厳密な優先順位を持っているわけではありませんし、学生は異なる学校に対して同じ順位を付けることができます。
特に、w.l.o.g を想定します。
労働者の好みは、それぞれの仕事に適合することによる有用性によって決定されるため、関連性が認められる可能性があります。
特に、厳格な優先順位を持つ古典的な両面市場とは対照的に、すべての労働者の効用を同時に最大化する単一の安定したマッチングはもはや存在しません。
私たちは、各ワーカーが可能な限り安定したマッチングにおいて、電力会社から可能な限り最大のシェアを保証することを目指しています。
ワーカーの可能な限り安定したユーティリティとそれに割り当てられたユーティリティとの比率を \emph{最適安定シェア} (OSS) 比率と呼びます。
まず、安定したマッチング上の分布ではワーカー数が線形にならない OSS 比率を保証できないことを証明します。
代わりに、安定していない可能性のあるマッチングをランダム化して、厳密な対数 OSS 比を達成する方法を示します。
次に、実際の効用が必ずしも知られておらず、近似することしかできない場合を分析します。
特に、可能な限り最高のユーティリティと比較して、同様の部分のユーティリティを保証するアルゴリズムを提供します。
最後に、バンディット設定に移ります。ここでは、各ラウンドでマッチングを選択し、実行するマッチングのユーティリティのみを観察します。
近似ユーティリティの結果を利用して、タイのない問題と統計的タイ (小さな準最適性のギャップ) がある問題の間を適切に補間する方法を示します。

要約(オリジナル)

We study the problem of matching markets with ties, where one side of the market does not necessarily have strict preferences over members at its other side. For example, workers do not always have strict preferences over jobs, students can give the same ranking for different schools and more. In particular, assume w.l.o.g. that workers’ preferences are determined by their utility from being matched to each job, which might admit ties. Notably, in contrast to classical two-sided markets with strict preferences, there is no longer a single stable matching that simultaneously maximizes the utility for all workers. We aim to guarantee each worker the largest possible share from the utility in her best possible stable matching. We call the ratio between the worker’s best possible stable utility and its assigned utility the \emph{Optimal Stable Share} (OSS)-ratio. We first prove that distributions over stable matchings cannot guarantee an OSS-ratio that is sublinear in the number of workers. Instead, randomizing over possibly non-stable matchings, we show how to achieve a tight logarithmic OSS-ratio. Then, we analyze the case where the real utility is not necessarily known and can only be approximated. In particular, we provide an algorithm that guarantees a similar fraction of the utility compared to the best possible utility. Finally, we move to a bandit setting, where we select a matching at each round and only observe the utilities for matches we perform. We show how to utilize our results for approximate utilities to gracefully interpolate between problems without ties and problems with statistical ties (small suboptimality gaps).

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