Bounded KRnet and its applications to density estimation and approximation

要約

この論文では、有界領域上で B-KRnet と呼ばれる可逆マッピングを開発し、それをデータの密度推定/近似、またはフォッカー・プランク方程式やケラー・シーゲル方程式などの偏微分方程式の解に適用します。
KRnet と同様に、B-KRnet の構造は、擬似三角形構造を正規化フロー モデルに適応させます。
B-KRnet と KRnet の主な違いは、B-KRnet がハイパーキューブ上で定義されるのに対し、KRnet は空間全体上で定義されることです。つまり、正確な可逆性を維持するために、B-KRnet には新しいメカニズムが導入されています。
B-KRnet をトランスポート マップとして使用すると、ハイパーキューブ上の事前 (一様) 分布の押し出しに対応する明示的な確率密度関数 (PDF) モデルが得られます。
データのみが利用可能な場合は、密度推定に直接適用できます。
KRnet と B-KRnet を結合することにより、一部の次元には境界があり、他の次元には境界がない高次元ドメイン上で深い生成モデルを定義します。
典型的なケースは、位置と運動量の PDF である定常運動のフォッカー プランク方程式の解です。
B-KRnet に基づいて、解が PDF である、または PDF として扱える偏微分方程式を近似する適応学習アプローチを開発します。
B-KRnet の有効性を実証するために、さまざまな数値実験が示されています。

要約(オリジナル)

In this paper, we develop an invertible mapping, called B-KRnet, on a bounded domain and apply it to density estimation/approximation for data or the solutions of PDEs such as the Fokker-Planck equation and the Keller-Segel equation. Similar to KRnet, the structure of B-KRnet adapts the pseudo-triangular structure into a normalizing flow model. The main difference between B-KRnet and KRnet is that B-KRnet is defined on a hypercube while KRnet is defined on the whole space, in other words, a new mechanism is introduced in B-KRnet to maintain the exact invertibility. Using B-KRnet as a transport map, we obtain an explicit probability density function (PDF) model that corresponds to the pushforward of a prior (uniform) distribution on the hypercube. It can be directly applied to density estimation when only data are available. By coupling KRnet and B-KRnet, we define a deep generative model on a high-dimensional domain where some dimensions are bounded and other dimensions are unbounded. A typical case is the solution of the stationary kinetic Fokker-Planck equation, which is a PDF of position and momentum. Based on B-KRnet, we develop an adaptive learning approach to approximate partial differential equations whose solutions are PDFs or can be treated as PDFs. A variety of numerical experiments is presented to demonstrate the effectiveness of B-KRnet.

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