Navigable Graphs for High-Dimensional Nearest Neighbor Search: Constructions and Limits

要約

最近、グラフに基づく最近傍探索手法に大きな関心が集まっており、その多くは高次元点集合上の航行可能なグラフの構築を中心としている。グラフは、与えられた距離関数に従って目的地に最も近い近傍に常に移動する貪欲なルーティング戦略を用いて、任意の出発ノードから任意の目的ノードにうまく移動できる場合、航行可能である。完全なグラフはどのような点集合に対してもナビゲート可能であるが、応用上重要な問題は、より疎なグラフが構築できるかどうかである。この問題は低次元ではかなりよく理解されているが、我々は高次元の点集合に対して初めて上界と下界をいくつか確立した。まず、任意の次元、任意の距離関数の$n$点集合に対して、平均次数$O( \sqrt{n ↪Llog n })$の航行可能なグラフを構成する簡単で効率的な方法を与える。O(Γlog n)$次元のユークリッド計量でも、任意の$Γ<1/2$に対して、ランダムな点集合は平均次数$O(n^{Γ})$の航海可能なグラフを持たない。われわれの下界は、二項確率変数の鋭い反集中界に依存しており、これを用いて、ランダム点集合の近傍が大きく重ならないことを示し、航行可能なグラフが多くの辺を持つことを強制する。

要約(オリジナル)

There has been significant recent interest in graph-based nearest neighbor search methods, many of which are centered on the construction of navigable graphs over high-dimensional point sets. A graph is navigable if we can successfully move from any starting node to any target node using a greedy routing strategy where we always move to the neighbor that is closest to the destination according to a given distance function. The complete graph is navigable for any point set, but the important question for applications is if sparser graphs can be constructed. While this question is fairly well understood in low-dimensions, we establish some of the first upper and lower bounds for high-dimensional point sets. First, we give a simple and efficient way to construct a navigable graph with average degree $O(\sqrt{n \log n })$ for any set of $n$ points, in any dimension, for any distance function. We compliment this result with a nearly matching lower bound: even under the Euclidean metric in $O(\log n)$ dimensions, a random point set has no navigable graph with average degree $O(n^{\alpha})$ for any $\alpha < 1/2$. Our lower bound relies on sharp anti-concentration bounds for binomial random variables, which we use to show that the near-neighborhoods of a set of random points do not overlap significantly, forcing any navigable graph to have many edges.

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