Theory and Explicit Design of a Path Planner for an SE(3) Robot

要約

多面体の障害物の中を移動する、6自由度を持つ剛体空間ロボットの経路計画を考える。このようなロボットのための正しく完全で実用的な経路計画は、ロボット工学における重要な課題として広く認識されているにもかかわらず、これまで実現されたことはない。本論文では、容易に実装可能な明示的な幾何学的プリミティブに至るまで、完全な「明示的」設計を提供する。 我々の設計は、ソフト細分探索（Soft Subdivision Search: SSS）と呼ばれるパスプランナのアルゴリズムフレームワークの中にある。このフレームワークは、厳密な数値実装に重要な$epsilon$-exactnessと柔らかい述語の二つの基礎に基づいている。SSSの実用性は、5自由度空間ロボットを含む様々なロボットで実証されている。 本論文では、SE(3)ロボットに関するいくつかの重要な技術的課題を解決する。(1)まず、SSS理論の基本定理の一般形を証明することにより、正しい理論を保証する。(2)SE(3)ロボットの構成要素の1つである$SE(3)理論の一般的な定理を証明する。(2) $SE(3) = R^3 \times SO(3)$ の構成要素の一つは非ユークリッド空間SO(3)である。SO(3)の新しいトポロジー的に正しいデータ構造を設計する。SO(3)の細分割図とアトラスの概念を用いて、SO(3)の細分割を行うことができる。(3)衝突検出の幾何学的問題は、フットプリント写像を介して$R^3$で行われる。サンプリングに基づくアプローチとは異なり、配置ボックスの足跡という概念で推論しなければならないが、これは特徴付けるのがはるかに難しい。ソフト述語の理論を利用し、適切な近似フットプリントを設計し、非常に効果的な特徴セット技術と組み合わせることで、ソフト述語を導く。(4)最後に、直接実装を可能にするために、基礎となる幾何学的計算を「明示的」にする、すなわち、多項式系の一般的なソルバーを避ける。

要約(オリジナル)

We consider path planning for a rigid spatial robot with 6 degrees of freedom (6 DOFs), moving amidst polyhedral obstacles. A correct, complete and practical path planner for such a robot has never been achieved, although this is widely recognized as a key challenge in robotics. This paper provides a complete ‘explicit’ design, down to explicit geometric primitives that are easily implementable. Our design is within an algorithmic framework for path planners, called Soft Subdivision Search (SSS). The framework is based on the twin foundations of $\epsilon$-exactness and soft predicates, which are critical for rigorous numerical implementations. The practicality of SSS has been previously demonstrated for various robots including 5-DOF spatial robots. In this paper, we solve several significant technical challenges for SE(3) robots: (1) We first ensure the correct theory by proving a general form of the Fundamental Theorem of the SSS theory. We prove this within an axiomatic framework, thus making it easy for future applications of this theory. (2) One component of $SE(3) = R^3 \times SO(3)$ is the non-Euclidean space SO(3). We design a novel topologically correct data structure for SO(3). Using the concept of subdivision charts and atlases for SO(3), we can now carry out subdivision of SO(3). (3) The geometric problem of collision detection takes place in $R^3$, via the footprint map. Unlike sampling-based approaches, we must reason with the notion of footprints of configuration boxes, which is much harder to characterize. Exploiting the theory of soft predicates, we design suitable approximate footprints which, when combined with the highly effective feature-set technique, lead to soft predicates. (4) Finally, we make the underlying geometric computation ‘explicit’, i.e., avoiding a general solver of polynomial systems, in order to allow a direct implementation.

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