Separation and Collapse of Equilibria Inequalities on AND-OR Trees without Shape Constraints

要約

ここでは、アルゴリズムにさまざまな制限を課してツリーのルートのブール値を見つけ、
木の形。
樹木がその対称性に関する特定の条件を満たす場合、Saks and Wigderson (1986) によって提案された方向性アルゴリズム、つまり特殊なランダム化アルゴリズムがランダム化された複雑さを達成することが知られています。
さらに、非常に不均衡なため、方向性アルゴリズムがランダム化された複雑さを達成できないツリーの例が知られています (Vereshchagin 1998)。
この研究では、一般的なランダム化ブール決定ツリーとその特殊なケースである方向性アルゴリズムの間で偏差が発生する場所を特定することを目的としています。
この論文では、任意の AND-OR ツリーについて、方向性アルゴリズムと比較してより広いクラスを形成するランダム化された深さ優先アルゴリズムが、方向性アルゴリズムと同じ平衡状態にあることを示します。
したがって、任意の AND-OR ツリーに当てはまる平衡不等式の崩壊結果が得られます。
これは、深さ優先アルゴリズムであっても最速にできないケースが存在し、平衡不等式の分離結果につながることを意味します。
さらに、分離結果の証明のための重要な概念として新しいアルゴリズムが導入されています。

要約(オリジナル)

Herein, we investigate the zero-error randomized complexity, which is the least cost against the worst input, of AND-OR tree computation by imposing various restrictions on the algorithm to find the Boolean value of the root of that tree and no restrictions on the tree shape. When a tree satisfies a certain condition regarding its symmetry, directional algorithms proposed by Saks and Wigderson (1986), special randomized algorithms, are known to achieve the randomized complexity. Furthermore, there is a known example of a tree that is so unbalanced that no directional algorithm achieves the randomized complexity (Vereshchagin 1998). In this study, we aim to identify where deviations arise between the general randomized Boolean decision tree and its special case, directional algorithms. In this paper, we show that for any AND-OR tree, randomized depth-first algorithms, which form a broader class compared with directional algorithms, have the same equilibrium as that of the directional algorithms. Thus, we get the collapse result on equilibria inequalities that holds for an arbitrary AND-OR tree. This implies that there exists a case where even depth-first algorithms cannot be the fastest, leading to the separation result on equilibria inequality. Additionally, a new algorithm is introduced as a key concept for proof of the separation result.

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