Stochastic Multi-round Submodular Optimization with Budget

要約

この研究では、確率的予算付きマルチラウンド サブモジュラー最大化 (SBMSm) 問題を研究します。この問題では、アイテムのサブセットに対して定義された単調なサブモジュラー目的関数の合計を、複数のラウンドにわたって適応的に最大化することを目的としています。
目的関数は確率的イベントの実現にも依存し、すべてのラウンドで選択できるアイテムの総数は限られた予算によって制限されます。
この問題は、複数のラウンド設定、(適応) 影響の最大化や確率的プローブなどのよく研究された問題に拡張され、一般化されます。
項目と確率的イベントの数が何らかの形で制限されている場合、SBMSm 用の多項式時間動的計画法アルゴリズムが存在することを示します。
次に、SBMSm に対して単純な貪欲 $1/2(1-1/e-\epsilon)\およそ 0.316$ 近似アルゴリズムを提供します。このアルゴリズムは、最初に各ラウンドで消費される予算を非適応的に割り当て、次に貪欲かつ適応的に割り当てます。
各ラウンドで割り当てられた予算を使用して目的関数を最大化します。
最後に、{\em 予算と適応性のギャップ} を導入します。これにより、SBMSm の適応ポリシーが、貪欲なアルゴリズムのように事前に予算割り当てを決定する最適な部分適応ポリシーよりもどの程度優れているかを測定します。
予算適応性ギャップが $e/(e-1)\約 1.582$ と $2$ の間にあることを示します。

要約(オリジナル)

In this work, we study the Stochastic Budgeted Multi-round Submodular Maximization (SBMSm) problem, where we aim to adaptively maximize the sum, over multiple rounds, of a monotone and submodular objective function defined on subsets of items. The objective function also depends on the realization of stochastic events, and the total number of items we can select over all rounds is bounded by a limited budget. This problem extends, and generalizes to multiple round settings, well-studied problems such as (adaptive) influence maximization and stochastic probing. We show that, if the number of items and stochastic events is somehow bounded, there is a polynomial time dynamic programming algorithm for SBMSm. Then, we provide a simple greedy $1/2(1-1/e-\epsilon)\approx 0.316$-approximation algorithm for SBMSm, that first non-adaptively allocates the budget to be spent at each round, and then greedily and adaptively maximizes the objective function by using the budget assigned at each round. Finally, we introduce the {\em budget-adaptivity gap}, by which we measure how much an adaptive policy for SBMSm is better than an optimal partially adaptive one that, as in our greedy algorithm, determines the budget allocation in advance. We show that the budget-adaptivity gap lies between $e/(e-1)\approx 1.582$ and $2$.

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