Measure-Theoretic Time-Delay Embedding

要約

有名な Takens の埋め込み定理は、部分的な観察から力学システムの完全な状態を再構築するための理論的基盤を提供します。
ただし、古典的な定理は、基礎となるシステムが決定論的であり、観測にはノイズがないことを前提としているため、現実世界のシナリオへの適用性は制限されます。
これらの制限を動機として、我々はダイナミクスのオイラー記述を採用し、埋め込みを確率空間間のプッシュフォワードマップとして再構築する測度理論的一般化を厳密に確立します。
私たちの数学的結果は、最適輸送理論の最近の進歩を活用しています。
私たちは、新しい測度理論的な時間遅延埋め込み理論に基づいて、時間の遅れた部分観測から動的システムの完全な状態を予測する新しい計算フレームワークを開発しました。このフレームワークは、まばらでノイズの多いデータを処理できるように、より優れた堅牢性を備えて設計されています。
古典的なローレンツ 63 システムから、NOAA 海面水温予測や ERA5 風力場の再構成などの大規模な現実世界のアプリケーションに至るまで、いくつかの数値例を通じて、私たちのアプローチの有効性と多用途性を紹介します。

要約(オリジナル)

The celebrated Takens’ embedding theorem provides a theoretical foundation for reconstructing the full state of a dynamical system from partial observations. However, the classical theorem assumes that the underlying system is deterministic and that observations are noise-free, limiting its applicability in real-world scenarios. Motivated by these limitations, we rigorously establish a measure-theoretic generalization that adopts an Eulerian description of the dynamics and recasts the embedding as a pushforward map between probability spaces. Our mathematical results leverage recent advances in optimal transportation theory. Building on our novel measure-theoretic time-delay embedding theory, we have developed a new computational framework that forecasts the full state of a dynamical system from time-lagged partial observations, engineered with better robustness to handle sparse and noisy data. We showcase the efficacy and versatility of our approach through several numerical examples, ranging from the classic Lorenz-63 system to large-scale, real-world applications such as NOAA sea surface temperature forecasting and ERA5 wind field reconstruction.

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