On latent dynamics learning in nonlinear reduced order modeling

要約

この研究では、パラメータ化された非線形時間依存偏微分方程式の低次数モデリングのための潜在力学モデル (LDM) の新しい数学的フレームワークを紹介します。
私たちのフレームワークは、この後者のタスクを非線形次元削減問題としてキャストし、同時に潜在状態が (未知の) 動的システムに応じて進化するように制約します。
時間連続設定を使用して、全次モデル (FOM) 解の LDM 近似の誤差と安定性の推定値を導き出します。
$\Delta\text{LDM}$ 定式化をもたらす時間離散設定で明示的なルンゲ クッタ スキームを使用することの影響を分析し、学習可能な設定 $\Delta\text{LDM}_\ をさらに調査します。
theta$ では、ディープ ニューラル ネットワークが離散 LDM コンポーネントを近似し、FOM に関して有界近似誤差を提供します。
さらに、さまざまな入力パラメータを使用してデータ駆動型動的システムを構築する可能な方法として最近提案されたパラメータ化されたニューラル ODE の概念を、アフィン変調メカニズムによって入力パラメータ情報が注入される畳み込みアーキテクチャに拡張します。
畳み込みオートエンコーダー ニューラル ネットワークを設計しながら、空間コヒーレンスを維持できるため、潜在レベルでの解釈可能性が向上します。
バーガー方程式や移流・反応・拡散方程式を含む数値実験は、マルチクエリコンテキストで FOM 解の時間連続近似を取得するフレームワークの能力を実証し、したがって任意の時点で LDM 近似をクエリできることを示しています。
所定のレベルの精度を維持しながら、特定の時間インスタンスを取得します。
私たちの発見は、提案された LDM の注目すべき可能性を強調しており、時間依存のパラメーター化された偏微分方程式の低次数モデリングの精度と近似能力を強化する数学的に厳密なフレームワークを表しています。

要約(オリジナル)

In this work, we present the novel mathematical framework of latent dynamics models (LDMs) for reduced order modeling of parameterized nonlinear time-dependent PDEs. Our framework casts this latter task as a nonlinear dimensionality reduction problem, while constraining the latent state to evolve accordingly to an (unknown) dynamical system. A time-continuous setting is employed to derive error and stability estimates for the LDM approximation of the full order model (FOM) solution. We analyze the impact of using an explicit Runge-Kutta scheme in the time-discrete setting, resulting in the $\Delta\text{LDM}$ formulation, and further explore the learnable setting, $\Delta\text{LDM}_\theta$, where deep neural networks approximate the discrete LDM components, while providing a bounded approximation error with respect to the FOM. Moreover, we extend the concept of parameterized Neural ODE – recently proposed as a possible way to build data-driven dynamical systems with varying input parameters – to be a convolutional architecture, where the input parameters information is injected by means of an affine modulation mechanism, while designing a convolutional autoencoder neural network able to retain spatial-coherence, thus enhancing interpretability at the latent level. Numerical experiments, including the Burgers’ and the advection-reaction-diffusion equations, demonstrate the framework’s ability to obtain, in a multi-query context, a time-continuous approximation of the FOM solution, thus being able to query the LDM approximation at any given time instance while retaining a prescribed level of accuracy. Our findings highlight the remarkable potential of the proposed LDMs, representing a mathematically rigorous framework to enhance the accuracy and approximation capabilities of reduced order modeling for time-dependent parameterized PDEs.

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