The Z-Gromov-Wasserstein Distance

要約

グロモフ-ワッサーシュタイン (GW) 距離は、計量メジャー空間を比較するための強力なツールであり、データ サイエンスや機械学習で幅広い用途が見出されています。
オブジェクトの構造がますます複雑になるデータセット (ノード属性やエッジ属性のグラフなど) を分析する必要性により、最近の文献では GW 距離のいくつかのバリエーションが導入されています。
GW のような距離の理論の一般的な枠組みを確立することを目的として、この論文では、計量測定空間の概念の広範な一般化を検討します。任意の計量空間 $Z$ に対して、$Z$ ネットワークを次のように定義します。
$Z$ の値のカーネルを備えたメジャー空間である必要があります。
GW 距離の一般化を定義することで $Z$ ネットワークを比較する方法を導入します。これを $Z$-Gromov-Wasserstein ($Z$-GW) 距離と呼びます。
この構造は、これまでに知られている多くの指標を包含し、それらの共通特性を理解するための統一されたアプローチを提供します。
この論文は、$Z$-GW 距離が、分離性、完全性、測地性などの $Z$ の望ましい特性を保持する $Z$-networks の空間上の計量を定義することを示しています。
これらの特性の多くは、私たちのフレームワークに該当する GW 距離の既存のバリアントでは知られていませんでした。
私たちは基礎理論に重点を置いていますが、その結果には、実際の応用に役立つ計算可能な下限と距離の近似値も含まれています。

要約(オリジナル)

The Gromov-Wasserstein (GW) distance is a powerful tool for comparing metric measure spaces which has found broad applications in data science and machine learning. Driven by the need to analyze datasets whose objects have increasingly complex structure (such as node and edge-attributed graphs), several variants of GW distance have been introduced in the recent literature. With a view toward establishing a general framework for the theory of GW-like distances, this paper considers a vast generalization of the notion of a metric measure space: for an arbitrary metric space $Z$, we define a $Z$-network to be a measure space endowed with a kernel valued in $Z$. We introduce a method for comparing $Z$-networks by defining a generalization of GW distance, which we refer to as $Z$-Gromov-Wasserstein ($Z$-GW) distance. This construction subsumes many previously known metrics and offers a unified approach to understanding their shared properties. The paper demonstrates that the $Z$-GW distance defines a metric on the space of $Z$-networks which retains desirable properties of $Z$, such as separability, completeness, and geodesicity. Many of these properties were unknown for existing variants of GW distance that fall under our framework. Our focus is on foundational theory, but our results also include computable lower bounds and approximations of the distance which will be useful for practical applications.

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