G-invariant diffusion maps

要約

多様体上にあるデータを埋め込む拡散マップは、次元削減、クラスタリング、データ視覚化などのタスクで成功を収めています。
この研究では、連続行列グループの作用下で閉じられた多様体からサンプリングされたデータセットを埋め込むことを検討します。
このようなデータセットの例としては、平面回転が任意である画像が挙げられます。
この研究の第 1 部で導入された G 不変グラフ ラプラシアンは、群の既約ユニタリ表現の要素と特定の行列の固有ベクトルの間のテンソル積の形で固有関数を認めます。
これらの固有関数を使用して、データに対するグループ作用を本質的に説明する拡散マップを導き出します。
特に、等変埋め込みと不変埋め込みの両方を構築し、データ ポイントをクラスタリングして位置合わせするために使用できます。
我々は、ランダムコンピュータ断層撮影の問題における我々の構築の有用性を実証する。

要約(オリジナル)

The diffusion maps embedding of data lying on a manifold has shown success in tasks such as dimensionality reduction, clustering, and data visualization. In this work, we consider embedding data sets that were sampled from a manifold which is closed under the action of a continuous matrix group. An example of such a data set is images whose planar rotations are arbitrary. The G-invariant graph Laplacian, introduced in Part I of this work, admits eigenfunctions in the form of tensor products between the elements of the irreducible unitary representations of the group and eigenvectors of certain matrices. We employ these eigenfunctions to derive diffusion maps that intrinsically account for the group action on the data. In particular, we construct both equivariant and invariant embeddings, which can be used to cluster and align the data points. We demonstrate the utility of our construction in the problem of random computerized tomography.

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