Efficiently Reconfiguring a Connected Swarm of Labeled Robots

要約

$n$ のラベルが付けられたロボットの群れの動作計画を検討する場合、衝突のない一連の並列ロボット動作を介して、特定の開始構成を目的のターゲット構成に再配置する必要があります。
目的は、最小限の時間で新しい構成に到達することです。
重要な制約は、swarm を常に接続した状態に保つことです。
このタイプの問題は以前から検討されており、最近の注目すべき結果では、必ずしも接続されているわけではない再構成に対して一定のストレッチが達成されています。開始構成からターゲット構成へのマッピングに最大マンハッタン距離 $d$ が必要な場合、スケジュール全体の合計期間は次のようになります。
$\mathcal{O}(d)$ に制限されます。これは定数因数まで最適です。
ただし、一定のストレッチは、切断された再構成が許可されている場合、またはラベルのないロボットのスケーリングされた構成 (特定のオブジェクトのすべての寸法を同じ乗算係数で増加することによって発生します) の場合にのみ達成できます。
これらの主要な未解決問題を、(1) 接続されたラベル付き再構成に対する $\Omega(\sqrt{n})$ の下限を確立すること、そして最も重要なこととして、(2) スケールされた配置では接続された再構成が一定に伸びることを証明することによって解決します。
再構成が可能になります。
さらに、(3) メイクスパン 2 を達成できるかどうかを決定するのは NP 完全である一方、メイクスパン 1 を達成できるかどうかを多項式時間でチェックすることは可能であることを示します。

要約(オリジナル)

When considering motion planning for a swarm of $n$ labeled robots, we need to rearrange a given start configuration into a desired target configuration via a sequence of parallel, collision-free robot motions. The objective is to reach the new configuration in a minimum amount of time; an important constraint is to keep the swarm connected at all times. Problems of this type have been considered before, with recent notable results achieving constant stretch for not necessarily connected reconfiguration: If mapping the start configuration to the target configuration requires a maximum Manhattan distance of $d$, the total duration of an overall schedule can be bounded to $\mathcal{O}(d)$, which is optimal up to constant factors. However, constant stretch could only be achieved if disconnected reconfiguration is allowed, or for scaled configurations (which arise by increasing all dimensions of a given object by the same multiplicative factor) of unlabeled robots. We resolve these major open problems by (1) establishing a lower bound of $\Omega(\sqrt{n})$ for connected, labeled reconfiguration and, most importantly, by (2) proving that for scaled arrangements, constant stretch for connected reconfiguration can be achieved. In addition, we show that (3) it is NP-complete to decide whether a makespan of 2 can be achieved, while it is possible to check in polynomial time whether a makespan of 1 can be achieved.

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