Beyond Euclid: An Illustrated Guide to Modern Machine Learning with Geometric, Topological, and Algebraic Structures

要約

ユークリッド幾何学の永続的な遺産が古典的な機械学習を支えています。古典的な機械学習は、数十年にわたり、主にユークリッド空間にあるデータのために開発されてきました。
しかし、現代の機械学習では、本質的に非ユークリッドである高度に構造化されたデータに遭遇することが増えています。
このデータは、時空の曲率の幾何学から、脳内のニューロン間の位相的に複雑な相互作用、物理システムの対称性を記述する代数変換に至るまで、複雑な幾何学的、位相的、代数的構造を示すことができます。
このような非ユークリッド データから知識を抽出するには、より広範な数学的観点が必要です。
非ユークリッド幾何学を生み出した 19 世紀の革命を反映して、新たな研究分野が非ユークリッド構造で現代の機械学習を再定義しています。
その目標は、幾何学、トポロジー、代数を使用して、古典的な手法を型破りなデータ型に一般化することです。
このレビューでは、この急成長分野へのアクセスしやすいゲートウェイを提供し、最近の進歩を直感的な統一フレームワークに統合するグラフィカルな分類法を提案します。
その後、現在の課題に関する洞察を抽出し、この分野における将来の開発のエキサイティングな機会を強調します。

要約(オリジナル)

The enduring legacy of Euclidean geometry underpins classical machine learning, which, for decades, has been primarily developed for data lying in Euclidean space. Yet, modern machine learning increasingly encounters richly structured data that is inherently nonEuclidean. This data can exhibit intricate geometric, topological and algebraic structure: from the geometry of the curvature of space-time, to topologically complex interactions between neurons in the brain, to the algebraic transformations describing symmetries of physical systems. Extracting knowledge from such non-Euclidean data necessitates a broader mathematical perspective. Echoing the 19th-century revolutions that gave rise to non-Euclidean geometry, an emerging line of research is redefining modern machine learning with non-Euclidean structures. Its goal: generalizing classical methods to unconventional data types with geometry, topology, and algebra. In this review, we provide an accessible gateway to this fast-growing field and propose a graphical taxonomy that integrates recent advances into an intuitive unified framework. We subsequently extract insights into current challenges and highlight exciting opportunities for future development in this field.

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