Randomized Physics-Informed Neural Networks for Bayesian Data Assimilation

要約

我々は、ノイズの多いデータを含む逆偏微分方程式(PDE)問題における不確定性定量化のためのランダム化物理情報ニューラルネットワーク(PINN)あるいはrPINN法を提案する。この方法は逆PDE PINN解の不確実性を定量化するために用いられる。最近、ベイズPINN(BPINN)法が提案され、PINNパラメータの事後分布がベイズの定理を用いて定式化され、ハミルトニアンモンテカルロ(HMC)法や変分推論(VI)法などの近似推論法を用いてサンプリングされた。本研究では、HMCが非線形逆PDE問題に対して収束しないことを示す。HMCの代替として、PINN損失関数をランダム化することによって得られる確率最適化問題を解くことによって分布をサンプリングする。rPINN法の有効性を線形および非線形のポアソン方程式、および高次元空間依存拡散係数を持つ拡散方程式に対して検証する。rPINN法はすべての検討された問題に対して有益な分布を提供する。線形ポアソン方程式では，HMCとrPINNは同様の分布を生成するが，rPINNはHMCより平均27倍高速である．非線形のポアソン方程式と拡散方程式では，1つのHMCチェーンではPINNパラメータの事後分布の複数のモードを合理的な時間でサンプリングできないので，HMC法は収束しない．

要約(オリジナル)

We propose a randomized physics-informed neural network (PINN) or rPINN method for uncertainty quantification in inverse partial differential equation (PDE) problems with noisy data. This method is used to quantify uncertainty in the inverse PDE PINN solutions. Recently, the Bayesian PINN (BPINN) method was proposed, where the posterior distribution of the PINN parameters was formulated using the Bayes’ theorem and sampled using approximate inference methods such as the Hamiltonian Monte Carlo (HMC) and variational inference (VI) methods. In this work, we demonstrate that HMC fails to converge for non-linear inverse PDE problems. As an alternative to HMC, we sample the distribution by solving the stochastic optimization problem obtained by randomizing the PINN loss function. The effectiveness of the rPINN method is tested for linear and non-linear Poisson equations, and the diffusion equation with a high-dimensional space-dependent diffusion coefficient. The rPINN method provides informative distributions for all considered problems. For the linear Poisson equation, HMC and rPINN produce similar distributions, but rPINN is on average 27 times faster than HMC. For the non-linear Poison and diffusion equations, the HMC method fails to converge because a single HMC chain cannot sample multiple modes of the posterior distribution of the PINN parameters in a reasonable amount of time.

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