A Computational Framework for Solving Wasserstein Lagrangian Flows

要約

最適輸送の力学的定式化は、基礎となる幾何学（運動エネルギー）と密度経路（ポテンシャルエネルギー）の正則化の様々な選択によって拡張することができる。これらの組み合わせにより、様々な変分問題（ラグランジアン）が得られ、シュルオディンガー橋、アンバランス最適輸送、物理的制約を伴う最適輸送など、最適輸送問題の多くのバリエーションが包含される。一般に、最適密度経路は未知であり、これらの変分問題を解くことは計算上困難である。我々は、これらの問題全てに統一的な観点からアプローチする、深層学習に基づく新しいフレームワークを提案する。ラグランジアンの双対定式化を活用することで、我々の手法は、学習されたダイナミクスの軌道をシミュレーションしたりバックプロパゲートしたりする必要がなく、最適なカップリングにアクセスする必要もない。また、最適なカップリングにアクセスする必要もない。我々は、正しい予測を行うためには事前知識をダイナミクスに組み込むことが重要である単一細胞の軌道推論において、従来のアプローチを凌駕することにより、提案するフレームワークの汎用性を示す。

要約(オリジナル)

The dynamical formulation of the optimal transport can be extended through various choices of the underlying geometry (kinetic energy), and the regularization of density paths (potential energy). These combinations yield different variational problems (Lagrangians), encompassing many variations of the optimal transport problem such as the Schr\’odinger bridge, unbalanced optimal transport, and optimal transport with physical constraints, among others. In general, the optimal density path is unknown, and solving these variational problems can be computationally challenging. We propose a novel deep learning based framework approaching all of these problems from a unified perspective. Leveraging the dual formulation of the Lagrangians, our method does not require simulating or backpropagating through the trajectories of the learned dynamics, and does not need access to optimal couplings. We showcase the versatility of the proposed framework by outperforming previous approaches for the single-cell trajectory inference, where incorporating prior knowledge into the dynamics is crucial for correct predictions.

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