Connectivity Oracles for Predictable Vertex Failures

要約

頂点障害をサポートする接続オラクルの設計の問題は、無向グラフの基本的なデータ構造の問題の 1 つです。
それはすでによく理解されています。以前の著作 [Duan–Pettie STOC’10;
Long–Saranurak FOCS’22] は、失敗した頂点の数において線形なクエリ時間を達成し、グラフのサイズにおける前処理時間多項式と失敗した頂点の数における更新時間多項式を必要とする限り、条件付きで最適です。
予測を使用するアルゴリズムのパラダイムでこの問題を再検討します。失敗した頂点のセットを少数のエラーまで事前に予測できれば、クエリ時間を改善できるかどうかを尋ねます。
より具体的には、グラフ $G=(V,E)$ とサイズ $d=|\widehat{D の失敗すると予測される頂点のセット $\widehat{D} \subseteq V$ が与えられた場合に、データ構造を設計します。
}|$、時間内に前処理 $\tilde{O}(d|E|)$ し、失敗した頂点の予測セットと実際のセットの間の対称差として与えられる更新を受け取ることができます $\widehat{D} \triangle
D = (\widehat{D} \setminus D) \cup (D \setminus \widehat{D})$、サイズ $\eta = |\widehat{D} \triangle D|$、時間内に処理 $\チルダ
{O}(\eta^4)$、その後 $G \setminus D$ の接続クエリに $O(\eta)$ 以内に答えます。
別の観点から見ると、私たちのデータ構造は、\emph{感度設定} [Henzinger–Neumann ESA’16] における \emph{完全に動的なサブグラフ接続性問題} に対して最先端技術を上回る改善を提供します。
私たちは、データ構造の前処理時間とクエリ時間は、標準のきめ細かい複雑さの仮定の下では条件付きで最適であると主張します。

要約(オリジナル)

The problem of designing connectivity oracles supporting vertex failures is one of the basic data structures problems for undirected graphs. It is already well understood: previous works [Duan–Pettie STOC’10; Long–Saranurak FOCS’22] achieve query time linear in the number of failed vertices, and it is conditionally optimal as long as we require preprocessing time polynomial in the size of the graph and update time polynomial in the number of failed vertices. We revisit this problem in the paradigm of algorithms with predictions: we ask if the query time can be improved if the set of failed vertices can be predicted beforehand up to a small number of errors. More specifically, we design a data structure that, given a graph $G=(V,E)$ and a set of vertices predicted to fail $\widehat{D} \subseteq V$ of size $d=|\widehat{D}|$, preprocesses it in time $\tilde{O}(d|E|)$ and then can receive an update given as the symmetric difference between the predicted and the actual set of failed vertices $\widehat{D} \triangle D = (\widehat{D} \setminus D) \cup (D \setminus \widehat{D})$ of size $\eta = |\widehat{D} \triangle D|$, process it in time $\tilde{O}(\eta^4)$, and after that answer connectivity queries in $G \setminus D$ in time $O(\eta)$. Viewed from another perspective, our data structure provides an improvement over the state of the art for the \emph{fully dynamic subgraph connectivity problem} in the \emph{sensitivity setting} [Henzinger–Neumann ESA’16]. We argue that the preprocessing time and query time of our data structure are conditionally optimal under standard fine-grained complexity assumptions.

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