Simulating infinite-dimensional nonlinear diffusion bridges

要約

拡散ブリッジは、有限時間内に特定の状態に達することを条件とする拡散プロセスの一種です。
ベイズ推論、金融数学、制御理論、形状解析などの分野に幅広く応用できます。
ただし、自然データの拡散ブリッジをシミュレートすることは、ドリフト項の扱いが難しいこととデータの連続表現の両方により困難になる可能性があります。
有限次元の拡散ブリッジをシミュレートする方法はいくつかありますが、無限次元の場合は未解決のままです。
この論文では、スコア マッチング手法とオペレーターの学習を融合することで、この問題の解決策を提示し、無限次元ブリッジのスコア マッチングへの直接的なアプローチを可能にします。
離散化不変となるスコアを構築しますが、これは基礎となる空間連続プロセスを考慮すると自然なことです。
私たちは、閉じた形式の解を使用した合成例から現実世界の生物学的形状データの確率的非線形進化に至るまで、一連の実験を行っています。特に、追加のトレーニングなしであらゆる解像度に適応できるため、私たちの方法は高い有効性を示しています。

要約(オリジナル)

The diffusion bridge is a type of diffusion process that conditions on hitting a specific state within a finite time period. It has broad applications in fields such as Bayesian inference, financial mathematics, control theory, and shape analysis. However, simulating the diffusion bridge for natural data can be challenging due to both the intractability of the drift term and continuous representations of the data. Although several methods are available to simulate finite-dimensional diffusion bridges, infinite-dimensional cases remain unresolved. In the paper, we present a solution to this problem by merging score-matching techniques with operator learning, enabling a direct approach to score-matching for the infinite-dimensional bridge. We construct the score to be discretization invariant, which is natural given the underlying spatially continuous process. We conduct a series of experiments, ranging from synthetic examples with closed-form solutions to the stochastic nonlinear evolution of real-world biological shape data, and our method demonstrates high efficacy, particularly due to its ability to adapt to any resolution without extra training.

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