Learning low-degree quantum objects

要約

$\ell_2$- distance で $\varepsilon$-error までの低次量子オブジェクトを学習する問題を考えます。
以下の結果を示します: $(i)$ 未知 $n$-量子ビット次数-$d$ (パウリ基底) 量子チャネルとユニタリは $O(1/\varepsilon^d)$ クエリ (独立したクエリ) を使用して学習できます
$n$)、$(ii)$ 多項式 $d$ クエリ量子アルゴリズムから生じる $p:\{-1,1\}^n\rightarrow [-1,1]$ は、古典的に $O から学習できます
((1/\varepsilon)^d\cdot \log n)$ 多くのランダムな例 $(x,p(x))$ ($d=O(\log n)$ であっても学習可能であることを意味します)、および $(
iii)$ 次の $d$ 多項式 $p:\{-1,1\}^n\to [-1,1]$ は、量子に対する $O(1/\varepsilon^d)$ クエリを通じて学習できます
$p$をブロックエンコードするユニタリー$U_p$。
私たちの主な技術的貢献は、量子チャネルと完全有界多項式の新しいボーネンブラスト・ヒレ不等式です。

要約(オリジナル)

We consider the problem of learning low-degree quantum objects up to $\varepsilon$-error in $\ell_2$-distance. We show the following results: $(i)$ unknown $n$-qubit degree-$d$ (in the Pauli basis) quantum channels and unitaries can be learned using $O(1/\varepsilon^d)$ queries (independent of $n$), $(ii)$ polynomials $p:\{-1,1\}^n\rightarrow [-1,1]$ arising from $d$-query quantum algorithms can be classically learned from $O((1/\varepsilon)^d\cdot \log n)$ many random examples $(x,p(x))$ (which implies learnability even for $d=O(\log n)$), and $(iii)$ degree-$d$ polynomials $p:\{-1,1\}^n\to [-1,1]$ can be learned through $O(1/\varepsilon^d)$ queries to a quantum unitary $U_p$ that block-encodes $p$. Our main technical contributions are new Bohnenblust-Hille inequalities for quantum channels and completely bounded~polynomials.

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