Stable Phase Retrieval with Mirror Descent

要約

この論文では、加法性ノイズによって破損した m 個の位相のない測定値から n 次元の実数ベクトルを再構築することを目的としています。
ミラー降下法 (またはブレグマン勾配降下法) に基づいて、[15] で開発されたノイズのないフレームワークを拡張して、ノイズの多い測定に対処し、この手順が (十分に小さい) 加算ノイズに対して安定していることを証明します。
決定論的なケースでは、ミラー降下が位相回復問題の臨界点に収束することを示します。アルゴリズムが適切に初期化され、ノイズが十分に小さい場合、臨界点は大域的な符号変化まで真のベクトルの近くにあります。
測定値が i.i.d ガウスであり、信号対雑音比が十分に大きい場合、高い確率でミラー降下が真のベクトルに近いグローバル ミニマイザー (グローバルな符号の変化まで) に収束することを保証するグローバルな収束保証を提供します。
測定数 m が十分に大きくなるとすぐに。
スペクトル法を使用して適切な初期推定を提供すると、サンプルの複雑さの限界を改善できます。
我々は、ミラー降下が位相回復問題を解決するための計算的にも統計的にも効率的なスキームであることを示すいくつかの数値結果で理論的研究を補完します。

要約(オリジナル)

In this paper, we aim to reconstruct an n-dimensional real vector from m phaseless measurements corrupted by an additive noise. We extend the noiseless framework developed in [15], based on mirror descent (or Bregman gradient descent), to deal with noisy measurements and prove that the procedure is stable to (small enough) additive noise. In the deterministic case, we show that mirror descent converges to a critical point of the phase retrieval problem, and if the algorithm is well initialized and the noise is small enough, the critical point is near the true vector up to a global sign change. When the measurements are i.i.d Gaussian and the signal-to-noise ratio is large enough, we provide global convergence guarantees that ensure that with high probability, mirror descent converges to a global minimizer near the true vector (up to a global sign change), as soon as the number of measurements m is large enough. The sample complexity bound can be improved if a spectral method is used to provide a good initial guess. We complement our theoretical study with several numerical results showing that mirror descent is both a computationally and statistically efficient scheme to solve the phase retrieval problem.

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