Improved classical shadows from local symmetries in the Schur basis

要約

古典的なシャドウ タスクのサンプルの複雑さを研究します。あるクラスの観測対象に関する期待値を予測するために測定する必要がある、未知の状態のコピーの最小数はいくらですか?
サンプルの複雑さを最小限に抑えるためには、大規模な同時測定が必要になる可能性がありますが、以前の同時測定プロトコルは、未知の状態が純粋な場合にのみ機能します。
我々は、サンプルの複雑さが未知の状態のランクに応じて変化する古典的な影の最初の共同測定プロトコルを提案します。
特に、$\mathcal O(\sqrt{rB}/\epsilon^2)$ サンプルが十分であることを証明します。ここで、$r$ は状態のランク、$B$ はオブザーバブルの二乗フロベニウス ノルムの境界です。
$\epsilon$ は目標精度です。
低ランク領域では、これはシングルコピー測定を使用する従来のアプローチに比べて、ほぼ二次的な利点となります。
独立して興味深い可能性のあるいくつかの中間結果を提示します。 同一でない入力状態の関数を捕捉する古典的なシャドウの新しい定式化に対する解決策。
最適な量子ビット精製と量子多数決に使用される「優れた」シューア基底の一般化。
そして、解析において扱いにくいワインガルテン計算を回避するためにシュール基底の局所対称性を使用できるようにする測定戦略。

要約(オリジナル)

We study the sample complexity of the classical shadows task: what is the fewest number of copies of an unknown state you need to measure to predict expected values with respect to some class of observables? Large joint measurements are likely required in order to minimize sample complexity, but previous joint measurement protocols only work when the unknown state is pure. We present the first joint measurement protocol for classical shadows whose sample complexity scales with the rank of the unknown state. In particular we prove $\mathcal O(\sqrt{rB}/\epsilon^2)$ samples suffice, where $r$ is the rank of the state, $B$ is a bound on the squared Frobenius norm of the observables, and $\epsilon$ is the target accuracy. In the low-rank regime, this is a nearly quadratic advantage over traditional approaches that use single-copy measurements. We present several intermediate results that may be of independent interest: a solution to a new formulation of classical shadows that captures functions of non-identical input states; a generalization of a “nice” Schur basis used for optimal qubit purification and quantum majority vote; and a measurement strategy that allows us to use local symmetries in the Schur basis to avoid intractable Weingarten calculations in the analysis.

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