GPLaSDI: Gaussian Process-based Interpretable Latent Space Dynamics Identification through Deep Autoencoder

要約

偏微分方程式(PDE)を数値的に解くことは困難であり、計算コストがかかります。そのため、フルオーダーモデル（FOM）よりも高精度かつ高速な低次モデル（ROM）が開発されてきた。最近では、機械学習の進歩により、Latent Space Dynamics Identification (LaSDI) のような非線形投影法の作成が可能になりました。LaSDIは、オートエンコーダを用いてフルオーダーのPDE解を潜在空間にマッピングし、潜在空間のダイナミクスを支配するODE系を学習する。縮小された潜在空間でODE系を補間して解くことにより、予測された潜在空間ダイナミクスをデコーダに入力することで、高速で正確なROM予測を行うことができる。本論文では、潜在空間ODE補間をガウス過程（GP）に依存する新しいLaSDIベースのフレームワークであるGPLaSDIを紹介する。GPの利用には2つの大きな利点がある。第一に、ROM予測の不確実性を定量化できる。第二に、この予測の不確実性を活用することで、追加の訓練データ点を貪欲に選択することにより、効率的な適応訓練が可能になる。このアプローチは、基礎となるPDEに関する予備知識を必要としない。その結果、GPLaSDIは本質的に非侵入的であり、既知のPDEやその残差のない問題にも適用できる。我々は、Burgers方程式、プラズマ物理のためのVlasov方程式、および上昇する熱気泡問題に対する我々のアプローチの有効性を実証する。提案手法は、200倍から100,000倍の高速化を達成し、相対誤差は最大7%である。

要約(オリジナル)

Numerically solving partial differential equations (PDEs) can be challenging and computationally expensive. This has led to the development of reduced-order models (ROMs) that are accurate but faster than full order models (FOMs). Recently, machine learning advances have enabled the creation of non-linear projection methods, such as Latent Space Dynamics Identification (LaSDI). LaSDI maps full-order PDE solutions to a latent space using autoencoders and learns the system of ODEs governing the latent space dynamics. By interpolating and solving the ODE system in the reduced latent space, fast and accurate ROM predictions can be made by feeding the predicted latent space dynamics into the decoder. In this paper, we introduce GPLaSDI, a novel LaSDI-based framework that relies on Gaussian process (GP) for latent space ODE interpolations. Using GPs offers two significant advantages. First, it enables the quantification of uncertainty over the ROM predictions. Second, leveraging this prediction uncertainty allows for efficient adaptive training through a greedy selection of additional training data points. This approach does not require prior knowledge of the underlying PDEs. Consequently, GPLaSDI is inherently non-intrusive and can be applied to problems without a known PDE or its residual. We demonstrate the effectiveness of our approach on the Burgers equation, Vlasov equation for plasma physics, and a rising thermal bubble problem. Our proposed method achieves between 200 and 100,000 times speed-up, with up to 7% relative error.

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