Random Pareto front surfaces

要約

ベクトルのセットのパレート フロントは、すべての最良のトレードオフ ポイントのみで構成されるサブセットです。
このサブセットを補間することにより、最適なトレードオフ曲面が得られます。
この研究では、すべてのパレート前面が極座標を使用して明示的にパラメータ化できることを示す、非常に有用な結果を証明します。
特に、極パラメータ化の結果は、長さ関数を使用して任意のパレート前面を完全に特徴付けることができることを示しています。長さ関数は、任意の正の半径方向に沿った投影長を返すスカラー値関数です。
したがって、この表現を利用することによって、線形代数、確率と統計、決定理論からの多くの有用な概念を、パレート前面の空間上で機能するように一般化することがどのように可能であるかを示します。
特に、パレート前面自体が確率的プロセスである確率的設定に注目します。
とりわけ、パレート前面分布の期待値、共分散、分位数など、関心のある多くの統計量を定義および推定できる方法を紹介します。
動機付けの例として、実験計画法設定内でこれらの統計をどのように使用できるかを調査します。その目的は、効果的な意思決定を行うためにパレート前面分布を推論し、使用することです。
これに加えて、これらのパレート フロントの考え方が極値理論の文脈でどのように使用できるかについても説明します。
最後に、数値例として、新しい方法論の一部を現実世界の大気汚染データセットに適用しました。

要約(オリジナル)

The Pareto front of a set of vectors is the subset which is comprised solely of all of the best trade-off points. By interpolating this subset, we obtain the optimal trade-off surface. In this work, we prove a very useful result which states that all Pareto front surfaces can be explicitly parametrised using polar coordinates. In particular, our polar parametrisation result tells us that we can fully characterise any Pareto front surface using the length function, which is a scalar-valued function that returns the projected length along any positive radial direction. Consequently, by exploiting this representation, we show how it is possible to generalise many useful concepts from linear algebra, probability and statistics, and decision theory to function over the space of Pareto front surfaces. Notably, we focus our attention on the stochastic setting where the Pareto front surface itself is a stochastic process. Among other things, we showcase how it is possible to define and estimate many statistical quantities of interest such as the expectation, covariance and quantile of any Pareto front surface distribution. As a motivating example, we investigate how these statistics can be used within a design of experiments setting, where the goal is to both infer and use the Pareto front surface distribution in order to make effective decisions. Besides this, we also illustrate how these Pareto front ideas can be used within the context of extreme value theory. Finally, as a numerical example, we applied some of our new methodology on a real-world air pollution data set.

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