Investigating Guiding Information for Adaptive Collocation Point Sampling in PINNs

要約

物理情報に基づいたニューラル ネットワーク (PINN) は、領域内の一連の配置点における残差関数の評価を含む目的関数の最小化を通じて、偏微分方程式およびシステムの近似解を取得する手段を提供します。
PINN ソリューションの品質は、これらのコロケーション ポイントの数や分布などの多数のパラメータに依存します。
このペーパーでは、これらの点を選択するためのいくつかの戦略を検討し、それらが方法の全体的な精度に及ぼす影響を調査します。
特に、単一のアプローチが「最適」である可能性は低いが、固定数の残差評価を使用した場合に得られる結果の品質を向上させるために、多くの重要な指標がどのように影響を与える可能性があるかを示します。
これらのアプローチを、バーガーズ方程式とアレン・カーン方程式という 2 つのベンチマーク テスト問題を使用して説明します。

要約(オリジナル)

Physics-informed neural networks (PINNs) provide a means of obtaining approximate solutions of partial differential equations and systems through the minimisation of an objective function which includes the evaluation of a residual function at a set of collocation points within the domain. The quality of a PINNs solution depends upon numerous parameters, including the number and distribution of these collocation points. In this paper we consider a number of strategies for selecting these points and investigate their impact on the overall accuracy of the method. In particular, we suggest that no single approach is likely to be “optimal” but we show how a number of important metrics can have an impact in improving the quality of the results obtained when using a fixed number of residual evaluations. We illustrate these approaches through the use of two benchmark test problems: Burgers’ equation and the Allen-Cahn equation.

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