Mori-Zwanzig latent space Koopman closure for nonlinear autoencoder

要約

Koopman 演算子は、非線形システムの大域的線形化を達成するための魅力的なアプローチを提供し、複雑なダイナミクスの理解を簡素化するための貴重な方法となります。
データ駆動型の方法論は、有限のクープマン演算子の近似において有望である一方、オブザーバブルの賢明な選択、次元の削減、複雑なシステムの動作を正確に予測する能力など、さまざまな課題に取り組んでいます。
この研究は、低次元空間で Koopman 演算子をロバストに近似するための、Mori-Zwanzig autoencoder (MZ-AE) と呼ばれる新しいアプローチを紹介します。
提案された方法は、非線形オートエンコーダを活用して有限不変クープマン部分空間を近似するための重要な観測量を抽出し、モリ・ツワンツィヒ形式を使用した非マルコフ補正メカニズムを統合します。
その結果、このアプローチにより、非線形オートエンコーダーの潜在多様体内のダイナミクスの閉じた表現が得られ、それによってクープマン演算子近似の精度と安定性が向上します。
デモンストレーションでは、シリンダー周囲の流れの状態遷移を捕捉するこの技術の能力を示します。
また、倉本-Sivashinsky の低次元近似も提供され、短期的な予測可能性と長期的な堅牢な統計パフォーマンスが期待できます。
MZ-AE は、データ駆動型の手法とクープマン理論の数学的基礎との間のギャップを埋めることにより、複雑な非線形力学の理解と予測を向上させるための有望な手段を提供します。

要約(オリジナル)

The Koopman operator presents an attractive approach to achieve global linearization of nonlinear systems, making it a valuable method for simplifying the understanding of complex dynamics. While data-driven methodologies have exhibited promise in approximating finite Koopman operators, they grapple with various challenges, such as the judicious selection of observables, dimensionality reduction, and the ability to predict complex system behaviors accurately. This study presents a novel approach termed Mori-Zwanzig autoencoder (MZ-AE) to robustly approximate the Koopman operator in low-dimensional spaces. The proposed method leverages a nonlinear autoencoder to extract key observables for approximating a finite invariant Koopman subspace and integrates a non-Markovian correction mechanism using the Mori-Zwanzig formalism. Consequently, this approach yields a closed representation of dynamics within the latent manifold of the nonlinear autoencoder, thereby enhancing the precision and stability of the Koopman operator approximation. Demonstrations showcase the technique’s ability to capture regime transitions in the flow around a cylinder. It also provides a low dimensional approximation for Kuramoto-Sivashinsky with promising short-term predictability and robust long-term statistical performance. By bridging the gap between data-driven techniques and the mathematical foundations of Koopman theory, MZ-AE offers a promising avenue for improved understanding and prediction of complex nonlinear dynamics.

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