RiemannONets: Interpretable Neural Operators for Riemann Problems

要約

強い衝撃波、希薄化、接触の不連続性を伴う高速流れをシミュレーションするための適切な表現を開発することは、数値解析における長年の課題でした。
ここでは、ニューラル演算子を使用して、極度の圧力ジャンプ (最大 $10^{10}$ 圧力比) の圧縮性流れで遭遇するリーマン問題を解決します。
特に、\cite{lee2023training} の最近の研究に従って、2 段階のプロセスでトレーニングする DeepONet を最初に検討します。最初の段階では、基底がトランク ネットから抽出され、直交正規化され、その後使用されます。
ブランチネットのトレーニングの第 2 段階。
DeepONet のこの簡単な変更は、その精度、効率、堅牢性に大きな影響を与え、バニラ バージョンと比較してリーマン問題に対する非常に正確な解を導きます。
また、階層的なデータ駆動型の生成ベースには、アドホック機能拡張レイヤーを使用して導入されるすべてのフロー機能が反映されるため、結果を物理的に解釈することもできます。
また、低、中、および超高圧の圧力比については、U-Net に基づく別のニューラル オペレーターと結果を比較します。これらの演算子は、マルチスケールの性質があるため、リーマン問題、特に大きな圧力比に対して非常に正確ですが、計算コストが高くなります。
全体として、私たちの研究は、適切に事前トレーニングされていれば、単純なニューラル ネットワーク アーキテクチャがリアルタイム予測のリーマン問題の非常に正確な解を達成できることを示しています。
ソース コードとそれに対応するデータは、次の URL にあります: https://github.com/apey236/RiemannONEt/tree/main

要約(オリジナル)

Developing the proper representations for simulating high-speed flows with strong shock waves, rarefactions, and contact discontinuities has been a long-standing question in numerical analysis. Herein, we employ neural operators to solve Riemann problems encountered in compressible flows for extreme pressure jumps (up to $10^{10}$ pressure ratio). In particular, we first consider the DeepONet that we train in a two-stage process, following the recent work of \cite{lee2023training}, wherein the first stage, a basis is extracted from the trunk net, which is orthonormalized and subsequently is used in the second stage in training the branch net. This simple modification of DeepONet has a profound effect on its accuracy, efficiency, and robustness and leads to very accurate solutions to Riemann problems compared to the vanilla version. It also enables us to interpret the results physically as the hierarchical data-driven produced basis reflects all the flow features that would otherwise be introduced using ad hoc feature expansion layers. We also compare the results with another neural operator based on the U-Net for low, intermediate, and very high-pressure ratios that are very accurate for Riemann problems, especially for large pressure ratios, due to their multiscale nature but computationally more expensive. Overall, our study demonstrates that simple neural network architectures, if properly pre-trained, can achieve very accurate solutions of Riemann problems for real-time forecasting. The source code, along with its corresponding data, can be found at the following URL: https://github.com/apey236/RiemannONet/tree/main

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