Intrinsic Gaussian Vector Fields on Manifolds

要約

ロボット工学から気候科学に至るまでのさまざまなアプリケーションでは、球などの非ユークリッド領域で信号をモデリングする必要があります。
多様体上のガウス過程モデルは、特に不確実性の定量化が必要な場合に、このようなタスクのために最近提案されています。
多様体設定では、ベクトル値の信号はスカラー値の信号とは大きく異なる動作をする可能性があり、これまでの進歩の多くは後者のモデル化に焦点を当てています。
ただし、前者は、風速や未知の力学システムの力場のモデル化など、多くのアプリケーションにとって重要です。
この論文では、本質的に定義され、空間の幾何学形状を考慮した多様体上のベクトル値信号に対する新しいガウス過程モデルを提案します。
結果として得られるホッジ マット ガウス ベクトル フィールドを 2 次元球面とハイパートリ上に展開するために必要な計算プリミティブを提供します。
さらに、離散 2 次元メッシュと、超球、リー群、均一空間などの「理想的な」多様体という 2 つの一般化の方向を強調します。
最後に、ガウス ベクトル場が、以前に提案された外部場よりもかなり洗練された誘導バイアスを構成することを示します。

要約(オリジナル)

Various applications ranging from robotics to climate science require modeling signals on non-Euclidean domains, such as the sphere. Gaussian process models on manifolds have recently been proposed for such tasks, in particular when uncertainty quantification is needed. In the manifold setting, vector-valued signals can behave very differently from scalar-valued ones, with much of the progress so far focused on modeling the latter. The former, however, are crucial for many applications, such as modeling wind speeds or force fields of unknown dynamical systems. In this paper, we propose novel Gaussian process models for vector-valued signals on manifolds that are intrinsically defined and account for the geometry of the space in consideration. We provide computational primitives needed to deploy the resulting Hodge-Mat\’ern Gaussian vector fields on the two-dimensional sphere and the hypertori. Further, we highlight two generalization directions: discrete two-dimensional meshes and ‘ideal’ manifolds like hyperspheres, Lie groups, and homogeneous spaces. Finally, we show that our Gaussian vector fields constitute considerably more refined inductive biases than the extrinsic fields proposed before.

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