A physics-informed neural network method for the approximation of slow invariant manifolds for the general class of stiff systems of ODEs

要約

我々は、ODE の高速/低速動的システムの最も一般的なクラスに対する低速不変多様体 (SIM) を発見するための物理情報に基づくニューラル ネットワーク (PINN) アプローチを紹介します。
単純な回帰を使用して次数を減らしたブラック ボックス代理モデルを構築したり、高速変数と低速変数の先験的な知識を必要とした他の機械学習 (ML) アプローチとは対照的に、私たちのアプローチは、ベクトル場を高速成分と低速成分に同時に分解し、
基盤となる SIM の機能を閉じた形式で提供します。
分解は、状態変数の高速変数と低速変数への変換を見つけることによって達成され、これにより、高速変数に関して明示的な SIM 関数の導出が可能になります。
後者は、シンボリック微分を備えた単層フィードフォワード ニューラル ネットワークを使用して、幾何学的特異摂動理論 (GSPT) 内の不変方程式に対応する PDE を解くことによって取得されます。
提案された物理学に基づいた ML フレームワークのパフォーマンスは、ミカエリス メンテン、標的媒介薬物動態 (TMDD) 反応モデル、および完全競合基質阻害剤 (fCSI) 機構という 3 つのベンチマーク問題によって評価されます。
また、他の GPST 手法、つまり準定常状態近似 (QSSA)、部分平衡近似 (PEA)、および 1 回および 2 回の反復による CSP との比較も提供します。
提案された PINN スキームは、特に基礎となる SIM の境界近くで、QSSA、PEA、および CSP によって提供されるものと同等またはさらに高い精度の SIM 近似を提供することを示します。

要約(オリジナル)

We present a physics-informed neural network (PINN) approach for the discovery of slow invariant manifolds (SIMs), for the most general class of fast/slow dynamical systems of ODEs. In contrast to other machine learning (ML) approaches that construct reduced order black box surrogate models using simple regression, and/or require a priori knowledge of the fast and slow variables, our approach, simultaneously decomposes the vector field into fast and slow components and provides a functional of the underlying SIM in a closed form. The decomposition is achieved by finding a transformation of the state variables to the fast and slow ones, which enables the derivation of an explicit, in terms of fast variables, SIM functional. The latter is obtained by solving a PDE corresponding to the invariance equation within the Geometric Singular Perturbation Theory (GSPT) using a single-layer feedforward neural network with symbolic differentiation. The performance of the proposed physics-informed ML framework is assessed via three benchmark problems: the Michaelis-Menten, the target mediated drug disposition (TMDD) reaction model and a fully competitive substrate-inhibitor(fCSI) mechanism. We also provide a comparison with other GPST methods, namely the quasi steady state approximation (QSSA), the partial equilibrium approximation (PEA) and CSP with one and two iterations. We show that the proposed PINN scheme provides SIM approximations, of equivalent or even higher accuracy, than those provided by QSSA, PEA and CSP, especially close to the boundaries of the underlying SIMs.

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