Koopman operators with intrinsic observables in rigged reproducing kernel Hilbert spaces

要約

この論文は、再現カーネル ヒルベルト空間 (RKHS) とそのスペクトル上で定義されたコープマン オペレーターを推定するための新しいアプローチを示します。
我々は、RKHS の固有構造とジェットとして知られる幾何学的概念を利用して、クープマン オペレーターの推定を強化する、ジェット動的モード分解 (JetDMD) と呼ばれる推定方法を提案します。
この方法は、特に固有値の数値推定において、従来の拡張ダイナミック モード分解 (EDMD) の精度を向上させます。
この論文は、特別な正定値カーネルの明示的なエラー限界と収束率を通じて JetDMD の優位性を証明し、そのパフォーマンスに対する強固な理論的基盤を提供します。
また、コープマン演算子のスペクトル解析を掘り下げ、リグ付きヒルベルト空間の枠組み内で拡張されたコープマン演算子の概念を提案します。
この概念は、推定されたクープマン固有関数のより深い理解につながり、元の関数空間の外でそれらを捉えることができます。
リグされたヒルベルト空間の理論を通じて、私たちの研究は、クープマン演算子の推定スペクトルと固有関数を分析するための原理的な方法論を提供し、リグされた RKHS 内での固有分解を可能にします。
また、確かな理論的保証を備えた動的システムの時間的にサンプリングされた軌跡データから動的システムを再構成するための新しい効果的な方法も提案します。
ファン デル ポール発振器、ダフィング発振器、ヘノン マップ、ローレンツ アトラクターを使用していくつかの数値シミュレーションを実行し、固有値の明確な数値計算と動的システムの正確な予測によって JetDMD のパフォーマンスを示します。

要約(オリジナル)

This paper presents a novel approach for estimating the Koopman operator defined on a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) and its spectra. We propose an estimation method, what we call Jet Dynamic Mode Decomposition (JetDMD), leveraging the intrinsic structure of RKHS and the geometric notion known as jets to enhance the estimation of the Koopman operator. This method refines the traditional Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD) in accuracy, especially in the numerical estimation of eigenvalues. This paper proves JetDMD’s superiority through explicit error bounds and convergence rate for special positive definite kernels, offering a solid theoretical foundation for its performance. We also delve into the spectral analysis of the Koopman operator, proposing the notion of extended Koopman operator within a framework of rigged Hilbert space. This notion leads to a deeper understanding of estimated Koopman eigenfunctions and capturing them outside the original function space. Through the theory of rigged Hilbert space, our study provides a principled methodology to analyze the estimated spectrum and eigenfunctions of Koopman operators, and enables eigendecomposition within a rigged RKHS. We also propose a new effective method for reconstructing the dynamical system from temporally-sampled trajectory data of the dynamical system with solid theoretical guarantee. We conduct several numerical simulations using the van der Pol oscillator, the Duffing oscillator, the H\’enon map, and the Lorenz attractor, and illustrate the performance of JetDMD with clear numerical computations of eigenvalues and accurate predictions of the dynamical systems.

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