A Physics-driven GraphSAGE Method for Physical Process Simulations Described by Partial Differential Equations

要約

物理情報に基づいたニューラル ネットワーク (PINN) は、偏微分方程式 (PDE) に基づいてさまざまな計算物理学問題に対処することに成功しました。
ただし、特異点や振動などの不規則性に関連する問題に取り組んでいる間、トレーニングされたソリューションの精度は通常低くなります。
さらに、現在のほとんどの作品は、所定の入力パラメータに対してトレーニングされたソリューションのみを提供します。
入力パラメータに変更が発生した場合は、転移学習または再トレーニングが必要であり、従来の数値手法では独立したシミュレーションも必要です。
この研究では、不規則偏微分方程式によって支配される計算問題を解決し、パラメトリック偏微分方程式サロゲート モデルを開発するために、Galerkin 法と区分的多項式節点基底関数に基づく物理駆動型 GraphSAGE アプローチ (PD-GraphSAGE) を紹介します。
このアプローチでは、物理ドメインのグラフ表現を採用しているため、局所的な改良による評価点の要求が軽減されます。
距離関連のエッジ特徴と特徴マッピング戦略は、それぞれ特異点と振動状況のトレーニングと収束を支援するために考案されています。
提案手法の利点をいくつかの事例を通じて実証します。
さらに、ガウスランダム場ソースによってパラメータ化された熱伝導問題に対する堅牢な偏微分方程式代用モデルの確立に成功しました。これは、解を正確に提供するだけでなく、実験における有限要素法よりも数倍高速です。

要約(オリジナル)

Physics-informed neural networks (PINNs) have successfully addressed various computational physics problems based on partial differential equations (PDEs). However, while tackling issues related to irregularities like singularities and oscillations, trained solutions usually suffer low accuracy. In addition, most current works only offer the trained solution for predetermined input parameters. If any change occurs in input parameters, transfer learning or retraining is required, and traditional numerical techniques also need an independent simulation. In this work, a physics-driven GraphSAGE approach (PD-GraphSAGE) based on the Galerkin method and piecewise polynomial nodal basis functions is presented to solve computational problems governed by irregular PDEs and to develop parametric PDE surrogate models. This approach employs graph representations of physical domains, thereby reducing the demands for evaluated points due to local refinement. A distance-related edge feature and a feature mapping strategy are devised to help training and convergence for singularity and oscillation situations, respectively. The merits of the proposed method are demonstrated through a couple of cases. Moreover, the robust PDE surrogate model for heat conduction problems parameterized by the Gaussian random field source is successfully established, which not only provides the solution accurately but is several times faster than the finite element method in our experiments.

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